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1、 1 三角函数三角函数 1. 你记你记得得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？的弧长公式和扇形面积公式吗？ 2. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义 x y r x r y yxropyxP = += tancossin ,),. 3 22 ， 则（终边一点为角 三角函数的值在各象限的符号：符号由终边所在象限的坐标的符号值确定三角函数的值在各象限的符号：符号由终边所在象限的坐标的符号值确定 为第二，四象限为第三象限，则若 2 5 函数 xysin= xycos= xyta
2、n= 图象 定义域 R R +ZkkxRxx, 2 | 且 值域 最值 1 , 1 zkykx ykx = =+= ; 1, 2 2 1, 2 2 min max 1 , 1 zkykx ykx =+= = ; 1,2 1,2 min max R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2 周期为 2 周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 y T A x B S O M P 口诀：口诀： 一全正，一全正， 二正弦，三正切，二正弦，三正切， 四余弦四余弦 cos=y sin=y tan=y 2 单调性 zkkk kk + + , 2 3 2 , 2 2 2 2 , 2 2 减区间： 增区间： zk
3、k kx += ),0 , 2 对称中心（ 对称轴 zkkk kk + ,2,2 2,2 减区间： 增区间： zkk kx + = ),0 , 对称中心（ 对称轴 zkkk+), 2 , 2 ( 增区间： zk k ),0 , 2 对称中心（ 6 6. .特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值： 30 45 60 0 90 180 270 120 135 150 6 4 3 0 2 2 3 3 2 4 3 6 5 sin 2 1 2 2 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 2 1 cos 2 3 2 2 2 1 1 0 1 0 2 1 2 2 2 3 tan 3 3 1 3 0 0 3 3
4、1 3 同角三角函数的关系：平方关系1cossin 22 =+：商数关系 cos sin tan= 7.诱导公式诱导公式 : : 奇变偶不变，符号看象限。奇变偶不变，符号看象限。(90(90的奇数或者偶数倍的奇数或者偶数倍) ) 1). sin(-)=sin cos(-)=cos tan(-)=tan sin) 2 cos(,cos) 2 sin().7,sin)- 2 cos(,cos)- 2 sin(.)6 tan)-tan(,cos)-cos(,sin)-sin().5 tan)tan(,cos)cos(,sin)sin().4 tan)2tan(,cos)2cos(,sin)2sin(
5、).3 tan)2tan(,cos)2cos(,sin)2sin().2 =+=+= = =+=+=+ = =+=+=+kkk 8.两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数 + = + =+ += =+ = +=+ tantan1 tantan )tan( tantan1 tantan )tan( sinsincoscos)cos( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( sincoscossin)sin( 9.二倍角公式二倍角公式代换：令代换：令 = = = = 2 2222 tan1 tan2 2tan sincossin211cos22cos cossin
6、22sin 10.辅助角公式辅助角公式 asin+bcos= 22 ba +sin(+)，其中 a b =tan， asin+bcos= 22 ba +cos(a-)， 其 中 b a =tan 降幂公式降幂公式 + = = 2 2cos1 cos 2 2cos1 sin 2 2 3 11.配方：配方： 2 ) 2 cos 2 (sinsin1 = 2 cos2cos1 2 =+ 2 sin2cos1 2 = 12.函数函数 sin()yAxk=+ 的图象与的图象与 sinyx= 图象间的关系：图象间的关系： 函数函数 sinyx= 的图象的图象向左（向左（0）或向右（）或向右（0）平移）平移
7、| | 个单位得个单位得 ()sinyx=+ 的图象；的图象； 函数函数 ()sinyx=+ 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ，得到函数 ，得到函数 ()sinyx=+ 的图象的图象； 函数函数 ()sinyx=+ 图象的横坐标不变，图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数倍，得到函数 sin()yAx=+ 的图象；的图象； 函数函数 sin()yAx=+ 图图象象向上（向上（ 0k ）或向下（）或向下（ 0k ），得到），得到 ()sinyAxk=+ 的图象。的图象。 要特别注意，若由要特别注意，若由 ()sinyx= 得
8、到得到 ()sinyx=+ 的图象，的图象，向左或向右平移应平移向左或向右平移应平移 | 个单位，个单位， 例例 1 将将sinyx=的图象怎样变换得到函数的图象怎样变换得到函数 2sin 21 4 yx =+ 的图象的图象 解： （方法一）把解： （方法一）把sinyx=的图象沿的图象沿x轴向左平移轴向左平移 4 个单位长度，得个单位长度，得 sin 4 yx =+ 的图象；将所有的图象；将所有 点的点的横坐标缩小到原来的横坐标缩小到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得倍（纵坐标不变） ，得 sin 2 4 yx =+ 的图象；将所有点的图象；将所有点的纵坐标伸长到原的纵坐标伸长到原 来的
9、来的 2 倍（横坐标不变） ，得倍（横坐标不变） ，得 2sin 2 4 yx =+ 的图象；最后把所得图象沿的图象；最后把所得图象沿y轴向上平移轴向上平移 1 个单位长度得个单位长度得 到到 2sin 21 4 yx =+ 的图象的图象 （方法二） 把（方法二） 把sinyx=的图象的图象所有点所有点的纵坐标伸长到原来的的纵坐标伸长到原来的 2 倍 （横坐标不变） ， 得倍 （横坐标不变） ， 得2sinyx=的图象；的图象； 将所有点将所有点的横坐标缩小到原来的的横坐标缩小到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得倍（纵坐标不变） ，得2sin2yx=的图象；将所得图象沿的图象；将所得图象沿
10、x轴向左平轴向左平 移移 8 个单位长度得个单位长度得 2sin2 8 yx =+ 的图象；最后把图象沿的图象；最后把图象沿y轴向上平移轴向上平移 1 个单位长度得到个单位长度得到 2sin 21 4 yx =+ 的图象的图象 例例 2 将将sin2yx=的图象怎样变换得到函数的图象怎样变换得到函数 cos 2 4 yx = 的图象的图象 分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数分析：应先通过诱导公式化为同名三角函数 解：解： sin2cos2cos 2 22 yxxx = ； cos 2 4 yx = = 2 ) 8 (2cos( +x 所以将所以将sin2yx=的图象向左平移的图象向左平移
11、8 个单位长度可得到函数个单位长度可得到函数 cos 2 4 yx = 的图象的图象 例例 3 3 已知函数已知函数).(), 12 (sin2) 6 2sin(3)( 2 Rxxxxf+= （1 1）求）求)(xf的最小正周期的最小正周期. .（2 2）求使函数）求使函数)(xf取得最大值时取得最大值时x的集合的集合. .值域求若)(, 4 , 6 ) 3xfx 解：（1）) 12 (2cos(1 ) 6 2sin(3)( +=xxxf （2）当 Zkkx+=,2 23 2 即 Zkkx+=, 12 5 4 1) 6 2cos() 6 2sin(3+= xx 1) 6 2cos( 2 1 )
12、 6 2sin( 2 3 2+= xx 1) 3 2sin(2+= x = + 2 2 minT 向量知识点总结向量知识点总结 1 1、向量：既有大小，又有方向的量、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长有向线段的三要素：起点、方向、长度度 零向量：长度为零向量：长度为0的向量的向量 单位向量：长度等于单位向量：长度等于1个单位的向量个单位的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行 相等向量：长度相等且方向相同的向量
13、相等向量：长度相等且方向相同的向量 2 2、向量加法运算：、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾相连三角形法则的特点：首尾相连 平行四边形法则的特点平行四边形法则的特点 三角形不等式：三角形不等式：ababab+ (4(4) )中线法则；中线法则；2AD=AB+AC2AD=AB+AC (5(5) )坐标运算：设坐标运算：设() 11 ,ax y=，() 22 ,bxy=， 则则() 1212 ,abxxyy+=+ 3 3、向量减法运算：、向量减法运算：三角形法则的特点：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量共起点，连终点，方向指向被减向量 坐标运算：设坐标运算：设 () 11 ,
14、ax y=，() 22 ,bx y=，则，则() 1212 ,abxxyy=设设、两点的坐标分别为两点的坐标分别为() 11 ,x y， () 22 ,xy，则，则 () 1212 ,xxyy =中点坐标为中点坐标为) 2 , 2 ( 2121 yyxx+ ; ; 2 21 2 21 )()(yyxxAB+= 4 4、平面向量基本定理：如果、平面向量基本定理：如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数有且只有一对实数 1 、 2 ，使，使 1 122 aee=+ （不共线 （不
15、共线向量向量 1 e、 2 e作为这一平面内所有向量的一组基底）作为这一平面内所有向量的一组基底） 5 5、 平面向量的数量积：、 平面向量的数量积： () cos0,0,0180a ba bab= 零向量与任一向量的数量积为 零向量与任一向量的数量积为0 性质：设性质：设a和和b都是非零向量，则都是非零向量，则0aba b=当当a与与b同向时，同向时，a ba b=；当；当a与与b反反 向时，向时，a ba b= ； 2 2 a aaa=或或aa a=a ba b 运算律：运算律：a bb a=；() ()() aba bab=；( ) abca cb c+= + 2 2 222 cos2)2()(bb
