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解：,被积函数写为,积分写为,为,计算积分 ，其中 是正常 数，n 是自然数。,极点在 z=0。,同理,证明：,由 ，复数 z 在上半平面。,由柯希定理,z* 在下半平面，故,二式相减,实轴上,大圆上,证明在 ，上式中后一项趋于零。,由 ，知 。,3. 以 z=0 为中心将函数 展开为泰勒级数。,解：,在 z=0，函数取主值 。,4. 以 z=0 为中心将函数 展开为泰勒级数。,解：,是偶函数，设,令 ，,递推公式,5.导出周期函数的拉普拉斯变换,解：,设,这是周期 T 的函数。,对每一个 n 作变换,6.如图复摆。当摆平衡以后，以一水平力击打 之一摆，使之有初始速度 v。求其微小运动。,解：,设摆的位移分别为 和 。,运动方程为：,初始条件：,作拉氏变换：,由,解像函数：,7。利用傅立叶变换解运动方程,F(t) 为已知函数，和 0 为常数，且 00 。,解：,两边在傅立叶变换，由导数定理：,其中,像函数为,求原函数,在上半复平面有两个极点。作上半平面大圆，则,A.,B. 利用卷积定理,其中 ，为另一部分的原函数：,极点在上半平面。t0，取实轴和上半平面大圆，积分为,
