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1、CH1 典型方程和定解条件的推导,1）概念:定解问题、初始条件、边界条件;,2）三类典型方程对初始条件、边界条件的要求： 波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程；,3）根据问题的描述，要会写出定解问题。,1）概念:定解问题、初始条件、边界条件;,2）三类典型方程对初始条件、边界条件的要求： 波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程；,弦的强迫横振动方程：,弦的自由横振动方程：,波 方 程,均匀杆的纵向振动问题：以 u(x,t) 表示杆上各点的纵向位移，则 u(x,t) 满足波方程。,二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波和声波的传播）：,热 方 程,二维齐次热传导方程,三维非齐次热传导方
2、程,若物体内部有热源,u(x,y,z,t) ：物体在空间位置 x 以及时刻 t 的温度。,Laplace方程, 泊松方程,稳定的热场,有源的稳定热场,第一类边界条件直接给出 u 在边界 S 上的值，即,第二类边界条件是给出 u 沿 S 的外法线方向的 方向导数，即,第三类边界条件是给出 u 以及 的线性组合在 边界的值，即,热传导问题：若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M的温度，则热传导问题的初始条件为,泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时间无关，所以不提初始条件。,弦振动问题：设初始位移、初始速度为 ,则波动方程的初值条件为,初始条件,初始条件给出的应是整个系统的初始状态，
3、 而非系统中个别点的初始状态。,不同类型的方程，相应初值条件的个数不同;,注意：,假设弦在 x=0 端按照规律 运动，在 x=l 端自由，初始位移、初始速度为 ，弦振动满足的定解问题为：,例：,叠加原理,设 L 是线性微分算子，若 满足线性方程（或线性定解条件）,CH2 分离变量法,掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分离变量解法； 掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量法解法； 会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题 会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。,要求：,分离变量法（I）,波动方程，热传导方程定解问题,解：令,引入参数 得,例：两端自由的杆的自由纵振动问题.,分离
4、变量：,由边值条件,得C1 =C 2=0 从而 ， 无意义,由边值条件,由边值条件,从而,T 的方程,其解为,特征值,特征函数,特征函数,故,代入初始条件:,展开为傅立叶余弦级数，比较系数,展开为傅立叶余弦级数，比较系数,例 求解定解问题：,解：方程有通解表达式（分离变量具体步骤省略） ：,其中，,因此，所求定解问题的解为,例：,解：,其中：,一、一,一、二,二、一,二、二,对波动方程和热传导方程，以下四种边界条件 要求掌握：,第三类边界条件不要求,注：对于波动方程和热传导方程而言, 边界条件唯一确定了其特征值和特征函数。,2. 掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量法解法；,分离变量法（I
5、I）,例. 在带电的云跟大地之间的匀强静电场(设其强度为 ,方向为竖直的)，水平架设一输电线，讨论输电线(导体圆柱体)对匀强电场的影响。,解: 设输电线圆柱半径为 a，取垂直于圆柱体的平面为x y平面, (x,y) 点处电势用 u(x,y) 表示。,柱体外空间无电荷，电势满足二维Laplace方程,亦即,无限远处静电场保持匀强 ，且由于 x 轴平行于 故在无限远处 ，即,因此 u(x,y) 满足的定解问题为：,采用平面极坐标。,由于 不能分解，故不能 直接用分离变量法。,令 则,则,取参数,由平面极坐标下极角周期性，应有,即,亦即,自然周期条件,则,本征值问题,本征值和本征函数,的方程,欧拉型
6、常微分方程,其解为,分离变量形式解,分离变量形式解,所以,由边界条件,由此,即,再由条件,由于 大时， 和 远远小于 项，当 时，,因而得,从而,最后得柱外的静电势为：,分离变量法（III）,3. 会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题,要求：,4. 会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件的定解问题。,非齐次方程的解经叠加后一般不再是原方程的解，所以分离变量法不再适应。,分离变量法的基本要点和解题步骤,一维波动方程和热传导方程：,(i)方程、边界条件齐次 分离变量法（ 任意初始条件）,(ii) 边界条件齐次,方程非齐次 分为2个问题 原初始条件齐次方程分离变量法,齐次定解条件非齐次方程特征函
7、数法 （注意初始条件的变化）,(iii) 边界条件非齐次 引进辅助函数齐次化边界条件,再用上述方法,(2) 二维拉普拉斯方程的边值问题,根据求解区域的形状适当的选取坐标系, 使得在 此坐标系下边界条件的表达方式最简单.,例如, 对于圆域、圆环、扇形等区域可以采用极坐标。应当指出，只有当求解区域非常规范时，才可以用分离变量法解拉普拉斯方程的定解问题。,方程以及边界条件都是齐次的,非齐次方程的解法,利用叠加原理,分离变量法,特征函数法,叠加原理,设(2)的解具有如下形式,其中 是待定函数，下面要确定 。,设(2)的解具有如下形式,其中 是待定函数，下面要确定 。,2) 将方程中的非齐次项 f(x,
8、 t) 按照上述特征函数 展开为傅立叶正弦级数:,其中,代入方程得,用拉普拉斯变换法求得上述问题的解为,例： 求解,解 齐次问题所对应的特征函数为,因此设方程的解为,代入方程,由于 ，它关于 的傅立叶系数为:,即有,由初始条件, 得,所以,解方程即得,故所求的解为,非齐次边界条件的处理,处理原则: 不论方程是否为齐次的,都选取（容易求解的）辅助函数 ，通过函数之间的代换:,使得对新的未知函数 具有齐次边界条件,?,如果边界条件不全是第一类的，则,1)若,令,2)若,令,3)若,令,注意：对于给定的定解问题, 如果方程中的自由项 f 和边界条件中的 都和自变量 t 无关，则可 选取辅助函数 w(x) ，通过代换,将方程和边界条件同时变成齐次的.,例 定解问题（热方程的相应问题？）,其中A, B为常数.,解:令,其中：,有：,于是 满足的方程为：,利用分离变量法，有通解形式：,其中,解为:,系统的解为:,
