线性系统的状态空间描述培训讲学

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1、第二章 线性系统的状态空间描述,2.1 系统的状态空间描述 2.2 系统的状态空间表达式的分类 2.3 状态空间表达式的建立 2.4 线性时不变系统的特征结构 2.5 状态方程的约当规范形 2.6 由状态空间描述导出传递函数阵 2.7 系统系统在坐标变换下的特性 2.8 组合系统的状态空间描述 2.9 Matlab问题 小 结,典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。 被控过程具有若干输入端和输出端。 数学描述方法： 输入输出描述（外部描述）:高阶微分方程、传递函数矩阵。 状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结构，是对系统的一种完整的描述。,2.1 系统的状态空间描述,典型控制系

2、统方框图,被 控 过 程,数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变换关系。 系统的外部描述：输入输出描述，不完全的描述。 不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量间的因果关系，即输出和输入间的因果关系。 例：线性定常、单输入单输出系统，外部描述为线性常系数微分方程,其中： ai和bj 为实常数。i=1,2, ,n-1； j=1,2, ,n-1,假定初始条件为零，取拉氏变换。 复频率域描述，即传递函数。,系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。 两个数学方程组成： 状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输

3、出变量组间的转换关系。,外部描述 外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为系统的内部结构和内部信息全然不知，系统描述直接反映了输出变量与输入变量间的动态因果关系。 内部描述 内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，能够完全反映系统的所有动力学特性。,(1) 状态 状态是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。 (2)状态变量 定义完全表征动态系统时间域运动行为的信息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号x1(t),x2(t),xn(t)表示，且它们相互独立

4、（即变量的数目最小）。,2.状态的基本概念,【例1】确定图21所示电路的状态变量。,图21 RLC电路 要唯一地确定t时刻电路的运动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC (t0) ，或者说uC (t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC (t)和i(t)是该电路的状态变量。,并非所有电路中的电容器电压和电感器电流都是独立变量,假定电容器初始电压值均为0，有,因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容

5、可以等效为一个电容。,(3)状态向量 设x1(t),x2(t),xn(t)是系统的一组状态变量，把这些状态变量看做向量x(t)的分量，则x(t)就称为状态向量，记为,(4)状态空间 以x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。,图1-3 多输入多输出系统示意图,(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶差分方程组（离散系统），称为状态方程。,【例2】建立图21所示RLC电路的状态方程。,取电容上的电压uC (t)和电感中的电流i(t)作为状态变量，根据电路原理有,将上式中状态变量的一阶导数放在方程

6、左边，其余项移至方程右边，整理得一阶微分方程组为：,上式即为图1所示电路的状态方程，并将其写成向量-矩阵形式，即,式（1-4）可简写为,令,，记,，,，,式中，,状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。,图12所示电路, 若uC (t)为输出,取x1=uC (t)，x2=i(t)作为状态变量，则其状态空间表达式为 ：,(6)状态空间表达式,2.2 系统的状态空间表达式的分类,系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。,线性系统和非线性系统 向量方程 和 的所有元都是变量

7、 x1， xn和u1， ur的线性函数，则相应的系统为线性系统。,向量方程 和 至少包括一个元是变量 x1， xn和u1， ur的非线性函数，则相应的系统为非线性系统。 现实中的一切实际系统严格地说都属于非线性系统。,1. 线性系统的状态空间描述,若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： 式中，各个系数矩阵分别为,其中x为n维的状态向量; u为r维的输入向量; y为m维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为nr维的输入矩阵; C为mn维的输出矩阵; D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩阵)。,对前面引

8、入的状态空间模型的意义，有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性, 其决定系统状态变量的动态变化。 输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。 系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况, 它主要决定系统的动态特性。 输入矩阵B又称为控制矩阵, 它表示输入对状态变量变化的影响。 输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。 直联矩阵D则表示了输入对输出的直接影响，许多系统不存在这种直联关系，即直联矩阵D=0。,2.线性时变系统和定常系统的状态空间描述,一个动态系统的状态向量、输入向量和输出向量自然是时间的函数，而矩阵 ， ， 和 的各个元素如果与时间有关，则称这种系统是线性时变系统

9、。,矩阵 ， ， 和 的各个元素如果与时间无关，则称这种系统是线性定常系统,式中的各个系数矩阵为常数矩阵,为简便， 线性定常系统的状态空间模型亦可简记为(A,B,C,D)。,几种简记符的意义:,当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为,3.离散系统的状态空间描述,当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。是用 来表示离散的时刻，那么离散系统状态空间描述的最一般形式为：,对于线性离

10、散时间系统，则上述状态空间描述还可进一步化为如下形式 ：,4.确定性系统和随机系统（P32）,确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。 不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定的规律来描述，或者作用于系统的变化（包括控制和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。,5.状态空间模型的结构图 （P41） 线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。不仅适用于多输入多输出系统，当然也适用于单输入单输出系统。 系统结构图主要有三种基本元件: 积分器,加法器,比例器,其表示符如图2

11、-2所示。,图2-2 系统结构图中的三种基本元件,例 线性时变系统,的结构图如图2-3所示。值得注意的是：图中的信号传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，每一方框的输入输出关系规定为： 输出向量=(方块所示矩阵)(输入向量),图2-3 多输入多输出线性时变系统的结构图,建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步，是控制理论和工程的基础.,2.3 状态空间表达式的建立,这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模。 机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系。以及各环节、元件的各物理量之间的关系。如电感的电压和电流满足的动

12、态关系.,2.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：,在实际工程系统中，许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如， 机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递; 化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递; 化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息。 对这些系统，根据其物理和化学变化的机理，由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等，可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式。因此，在选择适宜的状态变量后，可建立系统的状态空间模型。,建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提 状态变量的主要选取办法 系统储

13、能元件的输出 系统输出及其输出变量的各阶导数 上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）,下面通常见的 刚体力学系统、 流体力学系统、 典型化工(热工)过程 、 机电能量转换系统 讨论如何建立状态空间模型。,图2-4表示某电枢控制的直流电动机，其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感，J为转动惯量，负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦。 试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为输出的状态空间模型。,机电系统的状态空间描述,解 1. 设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。 按照图2-4所描述的电动机系统，可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程,其中Ea和M分别为如下

14、电枢电势和转矩 Ea=Ced/dt, M=CMia 其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量) .,因此，上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为,2. 选择状态变量. 对于本例，若已知电枢电流ia(t)，角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值，以及电枢电压u，则上述微分方程组有唯一解。 因此，可以选择状态变量如下,3. 将状态变量代入上述微分方程，则有如下状态方程,4. 建立输出方程 y=x2,5. 经整理，可得如下矩阵形式的状态空间模型,本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型，分别讨论 由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的 微分方

15、程建立状态空间模型。 本节关键问题: 如何选择状态变量,关键,2.3.2 由系统微分方程建立状态空间表达式,描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为，不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为 y(n)+a1y(n-1)+any=bu 其中y和u分别为系统的输出和输入；n为系统的阶次。,本节问题的关键是如何选择状态变量。,1. 微分方程中不包含输入量的导数项,选择状态变量为如下相变量 x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t) 可完全刻划系统的动态特性。,（a）化为能控标准形,将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程，有如下状态方程,和输出

16、方程 y=x1,将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有,式（1-23）描述的状态空间表达式称为能控标准形,该状态空间模型可简记为:,其中,通常将上述取输出y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。 该类系统矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵，这在后面的章节中可以看到。,【例4】将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 y”+6y”+11y+5y=6u 解：本例中 a1=6 a2=11 a3=5 b=6 因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,由式(1-23)可得状态空间模型如下,取状态变量：,（b）化为能观测标准形,整理得：,则得能观标准形状态空间表达式：,描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为 y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bn