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1、投资组合的风险与收益 Mean and Variance Analysis,投资学第五讲,课程脉络,确定性的现金流定价： 时间的维度,随机现金流定价： 风险的维度,Chapters 5，14-16,Chapters 6-13,Course Overview,随机现金流定价： 风险的维度,Topics: Mean/Variance Analysis Portfolio Selection CAPM Data and Statistics Arbitrage Pricing Theory EMH,Mean-Variance Analysis,Basic Probability,Risk avers
2、ion,Portfolio Mean and Variance,Single Securities,单个证券的收益与风险,资本利得,股息收入,1 证券的持有期回报 Holding-period return：给定期限内的收益率。,其中，p0表示当前的价格，pt表示未来t时刻的价格。,Returns on HP and S 2 占优于3; 4 占优于3;,占优原则（Dominance Principle）,夏普比率准则 Sharpe rate,对于风险和收益各不相同的证券，均方准则可能无法判定，可以采用夏普比率,它表示单位风险下获得收益，其值越大则越具有投资价值。,现有A、B、C三种证券投资可供
3、选择，它们的期望收益率分别为12.5% 、25%、10.8%，标准差分别为6.31%、19.52%、5.05%，用夏普比率对这三种证券如何排序？,从风险厌恶型投资来看，收益带给他正的效用，而风险带给他负的效用，或者理解为一种负效用的商品。 根据无差异曲线，若给一个消费者更多的负效用商品，且要保证他的效用不变，则只有增加正效用的商品。,风险厌恶型投资者的无差异曲线（Indifference Curves）,Increasing Utility,不同理性投资者具有不同风险厌恶程度,效用函数（Utility function）,假定一个风险规避者有如下形式的效用函数,其中，A为投资者风险规避的程度。
4、 若A越大，表示投资者越害怕风险，在同等风险的情况下，越需要更多的收益补偿。 若A不变，则当方差越大，效用越低。,Standard Deviation,确定性等价收益率 Certainly equivalent rate 排除风险因素后，风险资产能提供的等价的无风险收益率，称为风险资产的确定性等价收益率。 风险资产的U就是确定性等价收益率；由于无风险资产的方差为零，因此其效用U就等价于无风险回报率。,某风险资产，E(r)=22%, Stand Deviation=34%, 无风险收益率为5。如果A3,它等价于收益（效用）为4.66的无风险资产,对于风险厌恶者，只有当风险资产的确定性等价收益至少
5、不小于无风险资产的收益时，才愿意投资,如果A2，确定性等价收益为多少？,10.44%,Risk neutral风险中性投资者的无差异曲线,风险中性型的投资者对风险无所谓，只关心投资收益。,Expected Return,Standard Deviation,Risk lover风险偏好投资者的无差异曲线,Expected Return,Standard Deviation,风险偏好型将风险作为正效用的商品看待。,从效用函数：,的角度来看，风险中性者就是A0，效用函数为UE（r）；风险偏好者就是使A0。,Mean-Variance Analysis,Basic Probability,Risk
6、aversion,Portfolio Mean and Variance,Single Securities,资产组合的收益与风险,一个岛国有两家上市公司，一家为防晒品公司，一家为雨具公司。岛国每天下雨还是放晴的概率各为0.5。两家公司在不同天气下的收益分别如下，请问你的投资策略。,防晒品公司,雨具公司,下雨,放晴,0%,20%,20%,0%,假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益为,投资组合的收益,投资组合的风险（方差）,More generally:,组合可以使风险变小！,0,资产组合Portfolio的优点,对冲（Hedg
7、ing），也称为套期保值。投资于收益负相关资产，使之相互抵消风险的作用。 分散化（Diversification）：通过持有多个风险资产，就能降低风险。 组合使投资者选择余地扩大。,分散化的好处,投资组合可以通过分散化减少方差，而不会牺牲收益,有 n 个独立的资产都有相同的均值和方差,组合的均值和方差是多少？,Variance is reduced by a factor of n.,例如有A、B两种股票，每种股票的涨或跌的概率都为50%，若只买其中一种，则就只有两种可能，但是若买两种就形成一个组合，这个组合中收益的情况就至少有六种。,A,B,组合至少还包含非组合（即只选择一种股票），这表明投
8、资者通过组合选择余地在扩大，从而使决策更加科学。,例 题,假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为,Appendix 1,随机变量 Random Variables,离散随机变量 X is a variable that can take on the values: x1, x2, .,xn with probabilities p1, p2,., pn.,概率分布函数,可以把 pi写成 xi的函数, probability mass function.,Exampl
9、e: Roll of a die,期望值 Expectation,随机变量的期望可以写成,Example: Roll of a die,Mean 均值,Variance and Standard Deviation,方差和标准差测量随机变量取值偏离均值的程度,标准差Standard Deviation is the square root of the Variance.,随机变量的方差Variance :,Notation: 方差经常又写成:,Example: Roll of a die,Several Random Variables,Let X1 and X2 be two random
10、 variables.,联合概率分布函数 joint probability mass function 给事件(X1,X2)=(xi1,xj2) 一个概率 pi,j.,如果X1 和X2 的取值不依赖，也不影响另一方，则称为是独立的 independent。,More specifically:,协方差 Covariance,Covariance 衡量两个随机变量之间的相互影响,Notation:,If X1 and X2 are independent, then Cov(X1,X2) = 0.,The covariance of X1 with itself is Cov(X1,X1) =
11、 Var(X1).,Covariance Terminology,We say X1 and X2 are,Intuition: 正相关含义是当 X1 取值大于均值时， X2 很可能也是取值大于均值，换句话说， X1 和X2 tend to move in the same direction. 负相关意味着 tend to move in opposite directions.,相关系数 Correlation Coefficient,X1 和X2 之间的相关系数定义为,和的均值 Mean of a Sum,This follows from the linearity property
12、of Expectation.,More generally:,Mean of a Sum,Answer: Use the linearity property of Expectation.,EX-2Y+Z = EX - 2EY + EZ = 2-2(3)+(-5) = -9,Covariance Between Two Sums,Tricks for Variance and Covariance,1) 不用管常数项 Ignore constants,2) 如同做两项乘积的展开.,3) 用 var(X)替代X2 ,用cov(X,Y)替代XY ,用 var(Y)替代Y2,Practice so that you can do these steps in your head!,Variance of a Sum,Example:,What is VarX-2Y+Z?,Answer:,
