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1、高中数学创新教育中Cabri Geometry的应用研究温岭市二中课题组 郑国令当前信息技术飞速发展，知识经济已见端倪，21世纪的人们已经不可避免的进入了一个信息化的社会。怎样运用现代的教育技术，构建新型的中学数学教学模式，是当前课程改革中的重要内容。二年来，我组走过了组建、培训、研讨、观摩、研究、实践、撰写论文等过程，完成了相关的研究任务，取得了初步的研究成果。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。一、 问题的提出现代教学理论认为，数学教学过程应该是学生再发现、再创造的过程。虽然教材中的概念、公式、法则、定理等基础知识对人类是已知的，但对于学生来说是未知的，教学中应让学生充分参与概念、法则的形成过程，定理、
2、公式的发现和证明过程，使学生经历观察、比较、分析、综合、抽象、概括、归纳、类比等生动的数学思维活动，在其活动过程中学到知识、形成能力、磨炼意志、提高素质。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。著名数学家波利亚说：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学。”数学中的创造都是从猜想开始的，而数学的猜想与数学实验是分不开的。数学猜想往往是在数学实验的基础上，通过观察、分析、归纳而获得的。在数学的“再创造”过程中，数学猜想和数学实验有着同样重要的作用。而Cabri Geometry的计算、测量、绘图、变换、
3、运动等特殊功能，为开展数学实验提供了有效的工具。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。Cabri Geometry在知识形成过程中的应用的研究主要是研究利用Cabri Geometry改进数学知识形成过程的教学，探索把教学过程设计为学生再发现、再创造的过程，引导学生参与发现、开展数学实验，加深对数学知识的理解，培养学生的创新精神和实践能力。数学知识的应用是培养学生创新精神和实践能力的重要途径，而数学建模是解决实际问题的基本思路和方法。数学建模是从实际问题出发，建立相关的数学模型，把实际问题转化为一个数学问题，通过对这个数学问题的求解，最终获得实际问题的解的方法。Cabri Geometry配合CBL系统和各种
4、传感器（俗称探头）等，可十分方便、迅速地收集现实世界和实验室中的各种数据，并进行形象、直观的分析处理，获得实验结论，因而是数学建模的有效工具。Cabri Geometry在数学知识应用过程中的研究主要是研究Cabri Geometry如何用于数学应用问题的教学及数学建模活动的开展，探索培养学生应用数学的意识和实践能力的有效途径。Cabri Geometry在教学模式的研究主要是研究以现代教育理论为指导，努力发挥现代手持教育技术在教学中的作用，改进中学数学教学过程，构建新的教学模式，推进数学教学改革的深入开展。酽锕极額閉镇桧猪訣锥。二、研究过程 第一阶段：教师技术培训。使全体数学教师掌握Cabr
5、i Geometry主要功能。A.掌握图形生成。Cabri Geometry可以用来产生、编辑、列印各种图形。Cabri Geometry还提供了二十次曲线作图，为解析几何的教学提供便利。B.掌握动态图形变换。使用Cabri Geometry可以对图形进行平移、旋转、缩放等几何变换，也可以拖动图中的自由点改变图形形状。这些变换过程是连续表现出来的。这种动态图形变换不仅使作图过程变得生动活泼，而且为Cabri Geometry的一些高级功能如动画、轨迹生成、动态数值验证提供了基础。C.掌握几何量测量。Cabri Geometry可以用来测量一幅图形中的距离、角度、面积等几何量，并能够计算这些量的
6、任意代数与初等函数表达式。这一功能可以用来验证几何猜想的正确性，也可以帮助使用者提出猜想。D.掌握用作图形计算机。普通计算机的主要功能是可以对给定的数值进行加、减、乘、除、算术运算并计算初等函数的值。而Cabri Geometry除了这些功能外，主要增加的是初等函数图象显示功能。E.掌握几何定理的自动证明与自动发现。Cabri Geometry产生了最具代表性的定理证明方法：吴方法、面积法、演数据库法、全角法、向量与复数法与Grobner基法。这些方法可以自动证明定理。Cabri Geometry不仅可以自动证明定理，还可以用各种方法自动发现几何图形的丰富性质（包括定理）：数据库与面积法。彈贸
7、摄尔霁毙攬砖卤庑。第二阶段：应用Cabri Geometry初步研究阶段。这一阶段，教师把Cabri Geometry的应用全面推向课堂，教会学生使用Cabri Geometry，并进行典型引入研究讨论。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。第三阶段：应用Cabri Geometry深入研究阶段。这一阶段的研究：（1）广泛开展研究课活动；（2）撰写论文和课例。厦礴恳蹒骈時盡继價骚。第四阶段：应用Cabri Geometry，学生领域出成果。学校一切教学活动的开展，最后都落实到学生身上，学生的发展和成长是教学活动、课题实验的出发点和落脚点，都要体现在学生身上。应用Cabri Geometry开展数学应用议论文评
8、选，力争浮出有结合数学知识开展研究性学习，有联系生产、生活实际开展数学建模的，较高水平的论文。茕桢广鳓鯡选块网羈泪。二、 研究成果通过二年多来，把Cabri Geometry应用于教学活动中后，有利于对学生进行创新意识的培养和实践能力的提高，促进了教学改革的深入开展，主要成果有以下几点：1、 利用Cabri Geometry有利于改进数学知识形成过程的教学。在多年的数学教学中，存在着重结论、轻过程的倾向，这种倾向的产生也有它的客观原因和历史背景，在这种倾向下，对数学知识的教学，常常回答的“是什么”，“是什么的结论”，而对“为什么”确乏阐述，对结论是怎么产生的，产生这个结论的数学思维途径、思维过
9、程、思维方法也往往被忽视，这就限制了学生的数学思维水平的提高。从某种意义上，学生获取了获取知识的思维方法比知道的一些知识更为重要，对学生的终身发展更为有利。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。把Cabri Geometry应用于数学教学过程中，有利于揭示数学概念、公式、定理、法则的形成过程，在解决某些数学问题时，有利于启迪学生的思维，让学生去寻找解决问题的途径和方法。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。案例一：函数y=A的图象。研究该函数的图象，需要揭示A、三个量的取值对该函数图象位置的影响，同时要揭示函数y=sinx,y=sinx,y=Asinx,y=sin(x+)等不同函数之间的图象变换关系，这就要给A、各个不同的取
10、值，作出其图象，让学生进行比较，利用Cabri Geometry计算，作出各种不同的图象，让学生通过观察、分析、比较得出结论。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。另外，不少老师利用Cabri Geometry去研究一次函数，二次函数，幂函数，指数函数、对数函数、以及有关复合函数的图象和性质，函数图象的有关变换等问题时，有利于揭示知识的形成过程，不但提高学生的直觉思维、形象思维能力，而且提高了学生的抽象概括能力，同时，让学生在获取知识时，也获得了获取知识的思维途径和方法。渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。当然，在中学数学中，凡是涉及到数和形的问题，如函数与图象，复数与几何，曲线与方程，以及解不等式、最值的问题时，都可以显
11、示Cabri Geometry的功能，发挥现代技术的优势，部分教师进行了这方面的探索，这对教师的教育观念的更新也产生了很大的影响。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。2、 利用Cabri Geometry有利于学生进行自主学习和探究性学习活动，改变学习方式。改变学生的学习方式，是指从单一被动的学习方式向多样化的学习方式转变，其中，自主学习、合作学习和操作实验都是重要的学习方式。操作性学习活动，在教师教导下，让学生利用已学的知识和方法，去研究解决有关问题，主动获取知识，应用旧知识去研究新问题，获取新知识。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。案例二：关于原函数与反函数交点问题的讨论。在以往教学中，对原函数与反函数的交点问题，
12、认为两曲线有交点时，其交点必须在直线y=x上，事实上这是错误的，如函数f(x)=与反函数f-1(x)=(7-x2)(x0)有三个交点，为A（），B（1，2）C（2，1），显然只有点A在直线y=x上，而B、C两点关于直线y=x对称，以上结论的获得，只有通过Cabri Geometry作出其图象，通过观察分析得出有三个交点，然后再用初等方法加以求解，因此，Cabri Geometry在探究问题的解决时，起了重要的作用。贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。案例三：坐标轴的旋转对函数y=x+的图象及性质问题不少资料上都是研究该函数的最值及其单调性，在研究上都是其示意图，但不少示意图画的是错误的，这就要研究y=x+的
13、图象到底是什么？这是一个探索研究的问题，利用TI图形计算器进行坐标轴的旋转，可知该函数的图象是双曲线，存在两条渐近线x=0和直线y=x，其顶点不是y=x+的最值点，而是与直线y=tg(67.50)x的交点。坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。学生在教师的引导下，利用Cabri Geometry进行自主学习，探究性学习，可以调动学生学习的积极性和主动性，对研究问题，去获取新知识，对更新教育观念，进行教学模式的改革起到积极的作用。蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。3、 利用Cabri Geometry有利于学生开展课外学习活动，提高学习效率。学生开展课外学习活动是当前教育的薄弱环节，但是Cabri Geometry引入教学
14、过程后，对学生的课外活动的开展起了很大的变化。案例四：一节数学活动课在讲到“平均数，方差和标准差”这部分内容时，对数据的计算量较大，过去的教学过程中，只是要求学生掌握解决问题的思想和方法，但是利用Cabri Geometry工具可以帮助学生快速、准确地完成数据统计。買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。数学中的许多问题都需要通过计算加以解决，有些计算进程中学生必须用笔加以完成，但是经常也遇到不少运算对学生讲是重复的机械操作，对学生的学习和能力的提高并没有多少实际意义，这些计算用Cabri Geometry加以解决，对提高学生的学习效率是有意义的，把节省出来的时间，让学生去学习新知识。綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。4、
15、 让学生利用Cabri Geometry开展数学应用活动。学生进行数学应用的活动主要涉及三个方面：（1） 在学习过程中，结合已学的知识进行新探索，开展研究性学习活动。案例五：关于到两点、点线、两线距离存在关系的点的轨迹的研究学生在圆锥曲线的学习过程中，学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义之后，学生会进行一些联想，关于到两点、点线、两线的距离存在关系的点的轨迹是什么？如：“动点到两定点的距离的商（或积）为定值表示什么曲线？”；“动点到两定点的距离的平方和为定值表示什么曲线？”等等一系列的联想，引起了学生的兴趣，学生利用图形计算器把数与形、曲线与方程有机结合，进行一系列的探索并进行了科学的推理判断，提
16、高了学生的学习能力和数学探究能力。驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。（2） 结合生产、生活实际问题，开展数学应用的建模活动。 在数学学习过程中，让学生提出问题，分析和解决问题，进行数学交流，发展学生的数学实践能力。 在这方面学生写了不少论文，如：“上楼梯的数学问题”；“关于电影院座位的安排”；“商场选址的奥妙”；“考试成绩的优化处理”；“对用微波炉爆米花的研究”等，在研究过程中，充分显示Cabui Geometuy的功能应用，有利于数学建模活动的开展。猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。（3）利用数学和相关学科的联系，开展综合研究，解决有关实际问题。一位学生利用TI图开计算器为工具“对草坪喷灌装置进行设置”的研究，写了一篇很有价值的论文，涉及到数学与相关学科方面的知识，对水资源的利用有实际意交。锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。因此
