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1、第5章控制系统的频域分析,5.1频率特性的基本概念 5.2幅相频率特性及其绘制 5.3对数频率特性及其绘制 5.4奈奎斯特稳定判据 5.5相对稳定性 5.6利用开环频率特性分析系统的性能 5.7闭环系统频率特性,频率特性法,控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用下的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时
2、，采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。,频率特性分析法（Frequency Response），又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如： 根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能, 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。,频率特性分析法的特点,具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的
3、依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。 时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。,频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域控制理论。 本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。,5.1频率特性的基本概念,一、频率响应 频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。即一个
4、稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。 下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：,示例： 如图所示一阶RC网络，ui(t)与u0(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为,G(s)=,其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。,在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即 ui(t)=Uisin t 时 Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法求电路的输出。 输出的拉氏变换为：,U0(s)=,对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：,输出由两项组成：,可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，
5、但幅值与相位不同，输出滞后于输入。,第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由电路本身的时间常数T决定。,第二项是稳态响应分量，当t时，瞬态分量衰减为0，此时电路的稳态输出为：,输出与输入相位差为 = -arctanT,输入信号为 ui(t)=Uisint,二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数有关。,稳态输出与输入幅值比为,实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r(t)=sint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为 css(t)=Asin(t+)，如图所示。,二、频率特性,1、基本概念,对系统的频率响应作进一步的分析，由于输
6、入输出的幅值比A与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的频率有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与相位差仅是的函数，可以分别表示为A()与()。 若输入信号的频率在0的范围内连续变化，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。,因此，频率特性可定义为： 线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率在0的范围内连续变化时，系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，只和系统的结
7、构与参数有关，是线性定常系统的固有特性。,A()反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A1）还是衰减（A1）。 而()反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（0）还是滞后（0）。 系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面，并且强调频率是一个变量。,对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为： A()= ()= -arctanT,G(s)=,将s=j代入系统或元件的传递函数，则有 G(s)| s=j=G(j)=U()+jV() =G(j)G(j) =A()() G(
8、j)就是频率特性通用的表示形式，是的函数。,当是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G(j)。向量的长度为A()，向量与正实轴之间的夹角为()，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。,2、频率特性的数学表示方法,实频特性和虚频特性 G(j)=U()+jV() U()称为实频特性，V() 称为虚频特性。由复变函数理论可知：,并且A()与U()为的偶函数，()与V()是的奇函数(说明G(j) 与G(-j)是共轭函数)。 以上函数都是的函数，可以用曲线表示它们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。,三、频率特性的实验求取方
9、法,向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号 r(t)=Rsint 在0的范围内不断改变的取值，并测量与每一个值对应的系统的稳态输出 css(t)= A()Rsin(t+() 测量并记录相应的输出、输入幅值比与相角差。根据所得数据绘制出幅值比与相角差随的变化曲线，并据此求出元件或系统的幅频特性A()与相频特性()的表达式，便可求出完整的频率特性表达式。,四、由传递函数求取频率特性,实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似，系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换得到，这种求取方法
10、称为解析法。 系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。对于一个稳定系统，系统所有特征根的实部均为负，瞬态分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号：,输出信号的拉氏变换为,对输出求拉氏反变换可得,为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。,设n阶系统的传递函数为,输入信号为 r(t)=Rsint,css(t) =Kce-jt+K-cejt,系数Kc和K-c可由留数定理确定，可以求出,css(t)= A() Rsint+ (),A()= | G (s)| s=j =| G (j)|, (
11、) =G (j ),而输入信号为r(t)=Rsint,因此，A()为系统的输出与输入幅值比，为系统的幅频特性表达式。 ()为系统的输出与输入相位差，为系统的相频特性表达式。系统的频率特性为 G( j)= G(s)|s=j= A ()ej,由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可由系统的传递函数G(s)将j代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s =+j。当=0时，s = j。所以G(j)就是=0时的G(s) 。即当传递函数的复变量s用j代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。,重要,因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时，可以避开时域法需要求拉氏变
12、换及反变换的繁琐计算，直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。,线性定常系统，传递函数为G(s) G(j)= G(s)|s=j = A()ej,Rsint,A()Rsint+ (),A()是幅频特性， 是相频特性,对于上例所举的一阶电路，其幅频特性和相频特性的表达式分别为： A()= ()= -arctanT,G(s)=,举例：,已知：传函 T=c/K , K=10N/m c=10N.s/m, 输入幅值为1N正弦力，f(t)=sint, 求稳态位移输出,解：,正弦作用,五、频率特性的物理意义和数学本质,物理意义,1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输
13、入信号的频率在0的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。 2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。 3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。 4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。,频率特性的数学意义,频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。,以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。,
