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1、,一、微分的定义,二、微分的几何意义,四、微分在近似计算中的应用,第五节 函数的微分,返回,一、微分的定义,问题的提出,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长 由 变到 （如图），问此薄片的面积 改变了多少？,一般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量 可表示为,其中A是不依赖于 的常数,因此 是 的线性函数,且它与 之差,是比 高阶的无穷小,所以,当 ,且 很小时,我们就可 以近似地用 来代替,由定义知:,定理：y=f(x)在 可微的充分必要条件是f(x)在 处 可导，且当f(x)在点 可微时，其微分一定是,(1) 必要性,证明,(2) 充分性,例1,解,例2,解,返回,M,
2、N,）,几何意义:(如图),二、微分的几何意义,返回,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,函数的微分的表达式,求法: 计算函数的导数,乘以自变量的微分.,1.基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,3. 复合函数的微分法则,与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则 可推导如下:,设 及 都可导, 则复合函数 的 微分为,上式说明无论是u自变量还是中间变量其微分形式不变, 这一 性质称为微分形式不变性.,例3,解,例4,解,例5,解 应用积的微分法则,得,例6 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使等式成立.,解 (1)我们知道,可见,即,一般地,有,(C为任意
3、常数),(2),即,(C为任意常数),返回,四、微分在近似计算中的应用,1 函数的近似计算,这个式子也可以写为,或,(4),(5),(6),例7 有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm.估计一下每只球需用铜多少(铜的密度是 )?,解 先求出镀层的体积,再乘上密度就得到每只球需用 铜的质量.,由(4)得,于是镀每只球需用的铜约为,例8,解,下面我们来推导一些常用的近似公式,(7),应用(7)式可以推得一下几个在工程上常用的 近似公式 :,证明:,其它几个近似公式可用类似方法证明,这里从略了,例9,解,这里x=0.05,其值较小,利用近似公式,便得:,如果
4、直接开方,可得,将两个结果比较一下,可以看出,用1.025作为 的 近似值,其误差不超过0.001,这样的误差在一般应用上 已经够精确了.,2. 误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,定义：,问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?,办法:将误差确定在某一个范围内.,例10 设测得圆钢截面的直径D=60.03,测量D的绝对误差限,利用公式,计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差,解 我们把测量D时所产生的误差当作自变量D的增量 那么,利用公式 来计算A时所产生的误差就是,函数A的对应增量 当 很小时,可以利用微分dA近似地代替增量 即,而,因此得出A的绝对误差限约为,A的相对误差限约为,一般地,根据直接测量的x值按公式y=f(x)计算y值时,如果已知 测量x的绝对误差限是 ,即,那么,当,即y的绝对误差限约为,y的相对误差限约为,以后常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与 相对误差,返回,
