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1、求函数值域的十种方法一 直接法（观察法）： 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 求函数 的值域。【解析】 ， ，函数 的值域为 。【练习】1 求下列函数的值域： ； ； ； ， 。【参考答案】 ； ； ； 。二 配方法 ： 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 的函数的值域问题，均可使用配方法。例 2 求函数 （ ）的值域。【解析】 。 ， ， ， ， 。函数 （ ）的值域为 。例 3 求函数 的值域。【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：配方得： 利用二次函数的相关知识得 ，从而得出： 。说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到
2、分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 。例 4 若 ，试求 的最大值。【分析与解】 本题可看成第一象限内动点 在直线 上滑动时函数 的最大值。利用两点 ， 确定一条直线，作出图象易得：， y=1 时， 取最大值 。【练习】2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ； ； ； ； ， ； 。【参考答案】 ； ； ； ； ； 三 反函数法 ： 反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5 求函数 的值域。分析与解： 由于本题中分子、分
3、母均只含有自变量的一次型，易反解出 ，从而便于求出反函数。反解得 ，故函数的值域为 。【练习】1 求函数 的值域。2 求函数 ， 的值域。【参考答案】 1 ； 。四 分离变量法 ：适用类型 1 ：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例 6 ：求函数 的值域。解： ， ， ，函数 的值域为 。适用类型 2 ：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数 ) 的形式。例 7 ：求函数 的值域。分析与解 ： 观察分子、分母中均含有 项，可利用分离变量法；则有 。不妨令： 从而 。注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母 . 所以
4、 故 。另解 ：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到 的值域。【练习】1 求 函数 的值 域。【参考答案】 1 五、换元法 ： 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型 特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用 代数换元 ；当根式里是二次式时，用 三角换元 。例 8 ：求函数 的值域。解：令 （ ），则 ， 。当 ，即 时， ，无最小值。函数 的值域为 。例 9 ：求函数 的值域。解 ：因 ，即 。故可令 ， 。 ， ， 故所求函数的值域为 。例 10 . 求函数 的
5、值域。解：原函数可变形为： 可令 X= ，则有 当 时， 当 时， 而此时 有意义。故所求函数的值域为 例 11. 求函数 ， 的值域。解： 令 ，则 由 且 可得： 当 时， ，当 时， 故所求函数的值域为 。 例 12. 求函数 的值域。解：由 ，可得 故可令 当 时， 当 时， 故所求函数的值域为： 六、判别式法 ： 把函数转化成关于 的二次方程 ；通过方程有实数根，判别式 ，从而求得原函数的值域，形如 （ 、 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例 13 ：求函数 的值域。解：由 变形得 ，当 时，此方程无解；当 时， ， ，解得 ，又 ， 函数 的值域为 七、函数的单调性法 ：
6、 确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 14 ：求函数 的值域。解：当 增大时， 随 的增大而减少， 随 的增大而增大，函数 在定义域 上是增函数。 ，函数 的值域为 。例 15. 求函数 的值域。解：原函数可化为： 令 ，显然 在 上为无上界的增函数所以 在 上也为无上界的增函数所以当 x=1 时， 有最小值 ，原函数有最大值 显然 ，故原函数的值域为 适用类型 2 ：用于求复合函数的值域或最值。 （ 原理：同增异减 ）例 16 ：求函数 的值域。分析与解： 由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得： 由复合函数
7、的单调性（同增异减）知： 。八、利用有界性 ： 一般用于三角函数型，即利用 等。例 17 ：求函数 的值域。解：由原函数式可得： ，可化为：即 即 解得： 故函数的值域为 注 ：该题还可以使用数形结合法。 ，利用直线的斜率解题。例 18 ：求函数 的值域。解：由 解得 ， ， ， 函数 的值域为 。九、图像法（数形 结合法） ： 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 19 ：求函数 的值域。解： ， 的图像如图所示，由图像知：函数 的值域为 例 20 . 求函数 的值域。解：原函数可化简得： 上
8、式可以看成数轴上点 P （ x ）到定点 A （ 2 ）， 间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， 故所求函数的值域为： 例 21. 求函数 的值域。解：原函数可变形为：上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， ，故所求函数的值域为 例 22. 求函数 的值域。解：将函数变形为： 上式可看成定点 A （ 3 ， 2 ）到点 P （ x ， 0 ）的距离与定点 到点 的距离之差。即： 由图可知：（ 1 ）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构
9、成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有 即： （ 2 ）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为： 例 23 、：求函数 的值域 .分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将原函数视为定点 (2 ， 3) 到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（ 2 ， 3 ）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。例 24 求函数 的值域。分析与解答：令 ， ，则 ， ， ，原问题
10、转化为 ：当直线 与圆 在直角坐标系 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图 1 知：当 经过点 时， ；当直线与圆相切时， 。所以：值域为 十：不等式法 ： 利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 25. 求函数 的值域。解：原函数变形为：当且仅当 即当 时 ，等号成立故原函数的值域为： 例 26. 求函数 的值域。解： 当且仅当 ，即当 时，等号成立。由 可得： 故原函数的值域为： 十一、 多种方法综合运用 ： 例 27. 求函数 的值域。 解：令 ，则 （ 1 ）当 时， ，当且仅当 t=1 ，即 时取等号，所以 （ 2 ）当 t=0 时， y=0 。综上所述，函数的值域为： 注：先换元，后用不等式法 例 28. 求函数 的值域。解： 令 ，则 当 时， 当 时， 此时 都存在，故函数的值域为 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法， 然后才考虑用其他各种特殊方法。
