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1、求函数值域的十种方法一 直接法(观察法): 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。例 1 求函数 的值域。【解析】 , ,函数 的值域为 。【练习】1 求下列函数的值域: ; ; ; , 。【参考答案】 ; ; ; 。二 配方法 : 适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 的函数的值域问题,均可使用配方法。例 2 求函数 ( )的值域。【解析】 。 , , , , 。函数 ( )的值域为 。例 3 求函数 的值域。【解析】 本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:配方得: 利用二次函数的相关知识得 ,从而得出: 。说明:在求解值域 ( 最值 ) 时,遇到
2、分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为: 。例 4 若 ,试求 的最大值。【分析与解】 本题可看成第一象限内动点 在直线 上滑动时函数 的最大值。利用两点 , 确定一条直线,作出图象易得:, y=1 时, 取最大值 。【练习】2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ; ; ; ; , ; 。【参考答案】 ; ; ; ; ; 三 反函数法 : 反函数的定义域就是原函数的值域,利用反函数与原函数的关系,求原函数的值域。适用类型:分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ,也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例 5 求函数 的值域。分析与解: 由于本题中分子、分
3、母均只含有自变量的一次型,易反解出 ,从而便于求出反函数。反解得 ,故函数的值域为 。【练习】1 求函数 的值域。2 求函数 , 的值域。【参考答案】 1 ; 。四 分离变量法 :适用类型 1 :分子、分母是一次函数的有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。例 6 :求函数 的值域。解: , , ,函数 的值域为 。适用类型 2 :分式且分子、分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数 ) 的形式。例 7 :求函数 的值域。分析与解 : 观察分子、分母中均含有 项,可利用分离变量法;则有 。不妨令: 从而 。注意:在本题中若出现应排除 ,因为 作为分母 . 所以
4、 故 。另解 :观察知道本题中分子较为简单,可令 ,求出 的值域,进而可得到 的值域。【练习】1 求 函数 的值 域。【参考答案】 1 五、换元法 : 对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型 特征 是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,当根式里是一次式时,用 代数换元 ;当根式里是二次式时,用 三角换元 。例 8 :求函数 的值域。解:令 ( ),则 , 。当 ,即 时, ,无最小值。函数 的值域为 。例 9 :求函数 的值域。解 :因 ,即 。故可令 , 。 , , 故所求函数的值域为 。例 10 . 求函数 的
5、值域。解:原函数可变形为: 可令 X= ,则有 当 时, 当 时, 而此时 有意义。故所求函数的值域为 例 11. 求函数 , 的值域。解: 令 ,则 由 且 可得: 当 时, ,当 时, 故所求函数的值域为 。 例 12. 求函数 的值域。解:由 ,可得 故可令 当 时, 当 时, 故所求函数的值域为: 六、判别式法 : 把函数转化成关于 的二次方程 ;通过方程有实数根,判别式 ,从而求得原函数的值域,形如 ( 、 不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。例 13 :求函数 的值域。解:由 变形得 ,当 时,此方程无解;当 时, , ,解得 ,又 , 函数 的值域为 七、函数的单调性法 :
6、 确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例 14 :求函数 的值域。解:当 增大时, 随 的增大而减少, 随 的增大而增大,函数 在定义域 上是增函数。 ,函数 的值域为 。例 15. 求函数 的值域。解:原函数可化为: 令 ,显然 在 上为无上界的增函数所以 在 上也为无上界的增函数所以当 x=1 时, 有最小值 ,原函数有最大值 显然 ,故原函数的值域为 适用类型 2 :用于求复合函数的值域或最值。 ( 原理:同增异减 )例 16 :求函数 的值域。分析与解: 由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成,故可令: 配方得: 由复合函数
7、的单调性(同增异减)知: 。八、利用有界性 : 一般用于三角函数型,即利用 等。例 17 :求函数 的值域。解:由原函数式可得: ,可化为:即 即 解得: 故函数的值域为 注 :该题还可以使用数形结合法。 ,利用直线的斜率解题。例 18 :求函数 的值域。解:由 解得 , , , 函数 的值域为 。九、图像法(数形 结合法) : 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。例 19 :求函数 的值域。解: , 的图像如图所示,由图像知:函数 的值域为 例 20 . 求函数 的值域。解:原函数可化简得: 上
8、式可以看成数轴上点 P ( x )到定点 A ( 2 ), 间的距离之和。由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, 故所求函数的值域为: 例 21. 求函数 的值域。解:原函数可变形为:上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和,由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, ,故所求函数的值域为 例 22. 求函数 的值域。解:将函数变形为: 上式可看成定点 A ( 3 , 2 )到点 P ( x , 0 )的距离与定点 到点 的距离之差。即: 由图可知:( 1 )当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 ,则构
9、成 ,根据三角形两边之差小于第三边,有 即: ( 2 )当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为: 例 23 、:求函数 的值域 .分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ,将原函数视为定点 (2 , 3) 到动点 的斜率,又知动点 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点( 2 , 3 )到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:点评:本题从函数本身的形式入手,引入直线的斜率,结合图形,从而使问题得到巧解。例 24 求函数 的值域。分析与解答:令 , ,则 , , ,原问题
10、转化为 :当直线 与圆 在直角坐标系 的第一象限有公共点时,求直线的截距的取值范围。由图 1 知:当 经过点 时, ;当直线与圆相切时, 。所以:值域为 十:不等式法 : 利用基本不等式 ,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例 25. 求函数 的值域。解:原函数变形为:当且仅当 即当 时 ,等号成立故原函数的值域为: 例 26. 求函数 的值域。解: 当且仅当 ,即当 时,等号成立。由 可得: 故原函数的值域为: 十一、 多种方法综合运用 : 例 27. 求函数 的值域。 解:令 ,则 ( 1 )当 时, ,当且仅当 t=1 ,即 时取等号,所以 ( 2 )当 t=0 时, y=0 。综上所述,函数的值域为: 注:先换元,后用不等式法 例 28. 求函数 的值域。解: 令 ,则 当 时, 当 时, 此时 都存在,故函数的值域为 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 的有界性。总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法, 然后才考虑用其他各种特殊方法。