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1、实变函数网考考前辅导大纲1、 单项选择题1、下列正确的是（ B ）（A） （B）（C） （D）2、若A，B均为非空闭集，则（ D ）(A) 存在(B) (C) 存在不相交开集(D) 对任意，存在3、若不是L可测，是L可测，则下列正确的是（ C ）（A）不是L可测 （B）不是L可测 （C）是L可测 （D）不是L可测4、设在X上分别测度收敛于与，则（ B ）（A）测度收敛于 （B）测度收敛于（C）测度收敛于 （D）测度收敛于5、在上定义，当为有理数时，当为无理数时，则（ B ）（A）在上处处连续 （B）在上为L可测函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上不是L可积函数6、若为L可积函数，则（ B ）
2、（A）连续 （B）也L可积（C）也L可积 （D）有界7、当，则（ B ）（A）连续 （B）（C） （D）8、令，则在上( D )（A）不是L可测 （B）不是广义R可积 （C）L可积 （D）不是L可积9、令，则在上（ D ）（A）没有L积分值 （B）广义R可积 （C）L可积 （D）L积分具有绝对连续性10、若和都是中开集，且是的真子集，则（ D ）（A） （B）（C） （D）11、在中，令，B是轴，则（ C ）（A）A为有界闭集 （B）B为有界闭集 （C） （D）12、在中令，则（ A ）（A） （B）B为有界闭集（C） （D）13、设E为中的一个不可测集，令，则必是（ B ）（A）L可积函数
3、（B）不是L可测函数（C）无界函数 （D）连续函数14、当，则（ A ）（A） （B）有界（C） （D）15、若且是L可积，则（ C ）（A）是L可测 （B）是L可积（C） （D）有界16、设为上减函数，则为（ A ）（A）有界函数 （B）处处连续函数（C）不是R 可积函数 （D）绝对连续函数17、设为上增函数，则为（ A ）（A）几乎处处可微函数 （B）无界函数（C）处处连续函数 （D）18、若，则（ A ）（A） （B）处处可导（C） （D）处处连续19、若，则（ A ）（A）为有界函数 （B）为减函数（C）为绝对连续函数 （D）至多只有有限个第一类间断点20、若，则（ A ）（A） （B
4、）（C）处处可导 （D）二、判断题. 1. 若可测, 且,则. ()2. 设为点集, , 则是的外点. ()3. 点集的闭集. ()4. 任意多个闭集的并集是闭集. ()5. 若,满足, 则为无限集合. ()6. 非可数的无限集为c势集 . ()7. 开集的余集为闭集. ()8. 若mE=0，则E为可数集 .()9. 若 |f(x)| 在E上可测，则f(x) 在E上可测 .()10. 若f(x) 在E上有界可测，则f(x) 在E上可积. ()11. 无限个闭集的并集仍为闭集()12. 闭集只对有限的并集运算封闭。 ()13. 无限个开集的交集仍为开集。 ()14. 开集只对有限的交集运算封闭。
5、()15. 无限集均含有一个可数子集()16. 无限集都是可数集 ()17设是可测集，则一定存在型集，使得，且()18设是可测集，则一定存在型集，使得，且()19设是测度为零的集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数 ()零测集上的任何实函数都是可测函数。()20设是可测集，是上几乎处处为零的实函数，则在上可测()21设是可测集上的非负可测函数，则必在上勒贝格可积 ()22设是可测集上的可测函数，则一定存在 ()23. 无穷多个开集的交集为开集。 ()24无穷多个闭集的并集为闭集。 ()25上绝对连续函数是有界变差函数，有界变差函数不一定是绝对连续函数。()26.无穷多个零测集的并集不一定为零
6、测集。()27、Borel集是可测集；()28、可测集不一定是Borel集；()29、可测集一定可以表示成一个Borel集与零测集的差或并。()30、可测集上的连续函数一定是可测函数；()31、可测集上的可测函数不一定是连续函数；()32、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ ）33、任何无限集均都是可数集。 （ ）34、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）35、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ ）36、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ ）37、可列（数）个型集的并集仍为型集。 （ ）38、无限集中一定存在具有最大基数的无限集。 （ ）39、设是可测集
7、，则一定存在开集，使得，且。（ ）40、设和都是可测集，是和上的可测函数，则不一定是上的可测函数。 （ ）41、设是可测集上的可测函数，且存在（可为），则和至少有在上可积。 （ ）42、可列（数）个闭集的并集仍为闭集。 （ ）43、任何无限集均含有一个可数子集。 （ ）44、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）45、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ ）46、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。 （ ）47、单调函数是有界变差函数； （ ）48、有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。（ ）49、与的势是不等的。( )50、设，为上一列有
8、限的可测函数，若在上收敛于有限的可测函数，则在上依测度收敛于。( )三、简述Lebesgue积分与Riemann积分的联系.解：（1）对于闭区间上有界实函数f，f常义R可积当且仅当几乎处处连续（2）常义R可积时也必L可积，而且两种积分值相等，但反之不成立（3）当广义R积分绝对收敛时，广义R积分值与L 积分值相等，而且有，广义R积分绝对收敛当且仅当L可积四、简述五类函数（连续函数、单调函数、有界变差函数、绝对连续函数、利普希茨函数）之间的关系.解：在有界闭区间时，有下列关系：（1）利普希茨函数必是绝对连续函数，但反之不成立（2）绝对连续函数必是有界变差函数，但反之不成立（3）绝对连续函数必是连续
9、函数，但反之不成立（4）单调函数必是有界变差函数，但反之不成立（5）连续函数与单调函数没有因果关系，但单调函数必是几乎处处连续函数五、叙述直线上非空开集的结构，并简述康托尔集（Cantor）的主要性质.解：（1）直线上非空开集是至多可数个两两不相交的开区间的并.（2）康托尔集C有下列主要性质：是非空的有界闭集；没有孤立点；是不可数集，具有连续统势；测度等于零.六、简述可测函数列的四种收敛性（处处收敛、几乎处处收敛、一致收敛、测度收敛）之间的关系.解：（1）处处收敛必几乎处处收敛，但反之不成立（2）一致收敛必处处收敛，但反之不成立（3）测度收敛与几乎处处收敛和处处收敛没有因果关系，但在一定条件下也有关系。测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子列；测度有限的可测集上几乎处处收敛的可测函数列必是测度收敛。（温馨提示：照抄答案，没有加入自己的答案，一律不给分。）7
