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1、3.2.3直线的一般式方程,1.掌握直线的一般式方程,明确各系数的意义. 2.掌握一般式与其他形式的互化. 3.了解二元一次方程与直线的对应关系.,直线的一般式方程 (1)定义:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. (2)适用范围:在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示. (3)系数的几何意义:,知识拓展1.当AB0时,k0,倾斜角为锐角;当A=0,B0时,k=0,倾斜角=0;当B=0,A0时,k不存在,倾斜角=90. 2.二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成是平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程
2、的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的.,【做一做1】 若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为() A.A0B.B0 C.AB0D.A2+B20 解析:A,B不能同时为0,则A2+B20. 答案:D,【做一做2】 直线2x+y+4=0的斜率k=. 答案:-2,1,2,1.直线方程的一般式与其他形式的互化 剖析:一般式化斜截式的步骤: (1)移项,By=-Ax-C;,1,2,由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的,而两点式和点斜式不唯一,因此,通常情况下,一般式不化为两点式和点斜式
3、. 注意:在直线方程的几种形式中,任何形式的方程都可以化成一般式方程,化为一般式方程以后原方程的限制条件就消失了;其他形式的方程互化时,限制条件也可能发生变化;一般式方程化为其他形式的方程时,要注意限制条件,它们有如下的转化关系:,1,2,2.直线方程的五种形式及比较 剖析:如下表所示.,1,2,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; (4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思已知直
4、线的斜率和直线上点的坐标时,选用点斜式;已知直线的斜率和在y轴上的截距时,选用斜截式;已知直线上两点的坐标时,选用两点式;已知直线在x轴、y轴上的截距(截距都不为0)时,选用截距式.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程: (1)斜率为0,在y轴上的截距为2; (2)经过A(-2,1),B(1,0)两点.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例2】 把直线l的一般式方程2x-3y-6=0化成斜截式,求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出直线l.,题型一,题型二,题型三,题型四,即直线l在x轴与y轴上的截距分别是3,-2. 则
5、直线l与x轴、y轴的交点分别为A(3,0),B(0,-2),过点A,B作直线,即为直线l,如图所示.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在直线的一般式方程中:(1)令x=0,解得y值,即为直线在y轴上的截距,令y=0,解得x值,即为直线在x轴上的截距,这就确定了直线与两个坐标轴的交点坐标,从而画出图形.当然也可将一般式方程化为截距式来解决;(2)化为斜截式可讨论斜率与倾斜角以及在y轴上的截距等.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】 设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k3),根据下列条件分别确定k的值: (1)直线l的斜率为-1; (2)直线l在x轴、y轴上的截距之
6、和等于0. 解:(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化,题型一,题型二,题型三,题型四,【例3】 (1)求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程; (2)求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程. 解:(1)方法一:设直线l的斜率为k, 因为l与直线3x+4y+1=0平行,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,方法二:设与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为x-2y+m=0. 因为直线l经过点A(2,1), 所以2-21+m=0,所以m=0. 所以所求直线l的方程为x-2y=0.,反思1.与直线Ax+By+C=0
7、平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(mC),与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 2.直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0, (1)若l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10). (2)若l1l2A1A2+B1B2=0.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0. (1)若l1l2,求实数a的值; (2)当l1l2时,求实数a的值. 解(方法一)当a=2时,显然l1与l2相交且不垂直,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点:忽视一般式方程中A与B的条件而致错 【例4】 若直线l1:(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5=0的斜率与直线l2:x-y+1=0的斜率相同,则m等于() A.2或3B.2C.3D.-3,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在直线的一般式方程Ax+By+C=0中,A与B满足的条件是A与B不能同时为0,即A2+B20.当A=B=0时,方程变为C=0,不表示任何图形.,
