《2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教B版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教B版选修1-1（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义,1.了解导数概念的实际背景. 2.知道瞬时变化率就是导数. 3.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.,名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率. (2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.,【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则质点的初速度为. 解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率. s=s(0+t)-s(0)=3(t)-(t)2, 当t0时,3-t3,故质点的初速度为3. 答案:3,【做一做2】 函数f(x)=x2在x=1处的导数为.,3.导
2、函数 如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x处导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)内可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定的导数f(x),于是在区间(a,b)内f(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的导函数.记为f(x)(或yx、y). 导函数通常简称为导数.如不特别指明求某一点的导数,求导数指的就是求导函数.,【做一做3】 函数f(x)=x2的导数为. 解析:求函数f(x)=x2的导数就是求其在其定义域内任一点x处的导数. 当x0时,2x+x2x, 故函数f(x)=x2的导数为2x,即f(x)=2x. 答案:2x,4.导数的几何意义 函数y=f(
3、x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率.也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率为f(x0),相应的切线方程为y-y0=f(x0)(x-x0).,名师点拨如果函数在x0处的导数不存在,那么说明斜率不存在,此时切线方程为x=x0.,【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为. 解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处的导数. 答案:4,1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量y;,2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联系
4、? 剖析(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间(a,b)内每一点都可导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值x0,都对应着一个确定的导数f(x0).根据函数的定义,在开区间(a,b)内就构成了一个新的函数,就是函数f(x)的导函数f(x). (3)函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0处的函数值,即,3.“x0”的意义. 剖析:x与0的距离要多近有多近,即|x-0|可以小于给定的任意小的正数,但始终有x0.,题型一,题型二,题型三,题型四,导数的定义 【例1】 已知函数y=
5、f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.,分析:利用函数y=f(x)在点x0处可导的条件,可将给定的极限式变形成导数定义的结构形式来解决问题.导数定义中增量x的形式是多种多样的,但不论x选择哪种形式,y也应与之相对应.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思解决此类问题应将给定的极限形式恒等变形转化为导数定义的结构形式即可解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,求导数,反思函数的导数与在点x0处的导数不是同一概念,在点x0处的导数是函数的导数在x=x0处的函数值.分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧,要认真体会.,题型一,题型二,题型三,题型四,利用导数求曲线的切线方程,分析先利用导数的
6、几何意义求斜率,然后用点斜式写出直线方程.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思(1)求曲线y=f(x)在某点处的切线方程的一般步骤:求出函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0);根据点斜式得切线方程y-y0=f(x0)(x-x0).注意(x0,y0)为曲线上的点并且是切点. (2)函数f(x)在点x0处有导数,则在该点处曲线f(x)必有切线,且导数值是该切线的斜率;反之,不成立.例如, 在点x=0处有切线,但它不可导.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错题型,【例4】 试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线的方程. 错解函数y=x2的导数为y=2x, y|x=3=23=6. 切线
7、方程为y-5=6(x-3),即y=6x-13. 错因分析没有注意到点P不在曲线上,点P不是切点,错解中把点P当成了切点,从而导致错误.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解函数y=x2的导数为y=2x. 设所求切线的切点为A(x0,y0),解得x0=1或x0=5,从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为2x0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为2x0=10. 所求切线有两条,方程分别为 y-1=2(x-1)或y-5=10(x-25), 即y=2x-1或y=10 x-245.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思求曲线上在点P处的切线与过点P的切线有区别,在点P处的切线,点P必为切点;求过点P的切线,点P未必是切点,点P也不一定在已知曲线上.应注意概念区别,其求解方法上也有所不同,要认真体会.若点P在曲线上,要分点P是切点和不是切点两种情况解决.,4曲线y=x2在点P(x0,y0)处的切线的斜率为2,则x0=.,5试求过点P(0,-1)且与曲线y=f(x)=x2+3相切的直线方程.,
