《高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广课件2 北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广课件2 北师大版必修4（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 角的概念的推广,【知识提炼】 1.角的概念 平面内一条_绕着_从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.,射线,端点,终边,始边,顶点,2.角的分类 (1)任意角,逆时针,顺时针,不作任,何,(2)象限角 前提条件: ()角的顶点与_重合. ()角的始边与_的非负半轴重合. 分类: ()象限角:角的终边(除端点外)在第几象限,就是_. ()终边落在坐标轴上的角.,原点,x轴,第几象限角,3.终边相同的角的表示 所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合S=|= _,即任何一个与角终边相同的角,都可以表示 成角与周角的_的和.,+k360,kZ,整数倍,【即时小测】 1.思考下列问
2、题 (1)角的概念推广后,角的范围是什么? 提示:根据角的定义可知,角的范围推广到了任意角,即(-,+).,(2)在坐标系中终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同吗? 提示:一定.在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件:角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,因此,相等的角终边一定相同.,2.与角-80终边相同的角是() A.180B.100C.240D.280 【解析】选D.因为280=-80+360,故280与角-80终边相同.,3.在0360范围内,与2015角终边相同的角为_. 【解析】因为215=2015-5360,故在0360范围内,与2015角终边相同的角为21
3、5. 答案:215,4.-2000是第_象限的角. 【解析】因为160=-2000+6360,因为160是第二象限的角,故-2000是第二象限的角. 答案:二,5.若角的终边和函数y=-|x|的图像重合,则角的集合为_. 【解析】由于y=-|x|的图像是第三、四象限的平分线,故在0360范围内所对应的两个角分别为225及315,从而角的集合为S=|=k360+225或=k360+315,kZ. 答案:|=k360+225或=k360+315,kZ,【知识探究】 知识点1 角的概念的推广 观察图形,回答下列问题: 问题1:构成角的要素有哪几个? 问题2:用旋转观点定义角会出现哪几类角?旋转时,要
4、注意哪些要素?,【总结提升】 角的概念的四个关注点 (1)三个要素:顶点、始边、终边. (2)运动观点下的定义:抓住“旋转”两个字,它有正负之分,与初中学习的静止观点下的角是有区别的.,(3)角的大小:不仅与旋转的大小有关,还与旋转的方向有关,正角大于负角. (4)角的加减法运算:角的范围推广到任意角后,类似于实数的加减法运算.,知识点2 象限角与终边相同的角 观察图形,回答下列问题:,问题1:定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么? 问题2:终边相同的角之间有什么关系? 问题3:如何用集合和符号表示各象限角?,【总结提升】 1.定义的前提条件 (1)研究象限角、终边相同的角时,必须注意前提
5、条件:角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合. (2)如果角的顶点不与坐标原点重合,或者角的始边不与x轴的非负半轴重合,则没有象限角、终边相同的角的概念.,2.象限角的集合表示,3.对于终边相同的角的认识 所有与角终边相同的角,连同角在内可以用式子k360+, kZ表示,在运用时需注意以下三点: (1)k是整数,这个条件不能漏掉. (2)是任意角. (3)k360与之间用“+”连接,如k360-30应看成k360+(-30),kZ.,【题型探究】 类型一 角的概念的推广 【典例】1.时钟的时针走过了1小时20分钟,则分针转过的角为_. 2.射线OA绕端点O顺时针旋转80到OB位置,接
6、着逆时针旋转250到OC位置,然后再顺时针旋转270到OD位置,则AOD=_.,【解题探究】1.分针转过的圈数是多少? 提示:分针转过的圈数是 圈. 2.题2中逆时针旋转250是+250,还是-250?顺时针旋转270是+270,还是-270? 提示:逆时针旋转250是+250,顺时针旋转270是-270.,【解析】1.时针走过了1小时20分钟,则分针转了 圈,又因为按顺时针方向旋转的角为负角,所以分针转过的角为- 360=-480. 答案:-480,2.如图 AOD=AOB+BOC+COD =(-80)+250+(-270)=-100. 答案:-100,【方法技巧】 1.角的表示 (1)通常
7、用希腊字母,等表示,如“角”或“”,也可以简化为“”. (2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“”),如“AOB”. (3)用图示表示角时,箭头不可以丢掉,因为箭头代表 了旋转的方向,也即箭头代表着角的正负.,2.理解角的概念的三个“明确”,【变式训练】写出图(1)(2)中的角,的度数.,【解析】图(1)中,=360-30=330. 图(2)中,=-360+60+150=-150; =360+60+(-)=360+60+150=570.,类型二 终边相同的角 【典例】(2015宿州高一检测)写出与角-2010终边相同的角的集合S,求S中的最小正角. 【解题探究】与角终边相同的角如何表示? 提
8、示:与角终边相同的角表示为+k360,kZ.,【解析】与角-2010终边相同的角的集合为 S=|=-2010+k360,kZ. 因为-2010+6360=150, 故-2010与150的终边相同,且150为其中的最小正角. 答案:150,【延伸探究】 1.(改变问法)求S中的最大负角. 【解析】因为-2010+5360=-210, 故-2010与-210的终边相同,且-210为其中的最大负角. 答案:-210,2.(变换条件)求S中在-720720范围内的角. 【解析】令=-2010+k360,kZ, 当k=4时,=-2010+4360=-570, 当k=5时,=-2010+5360=-210
9、, 当k=6时,=-2010+6360=150, 当k=7时,=-2010+7360=510. 故S中在-720720范围内的角为 -570,-210,150,510.,【方法技巧】 1.在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地,可以将所给的角化成k360+的形式(其中0 360,kZ),其中的就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360的方式;当所给角是正角时,采用连续减360的方式,直到所得结果达到要求为止.,2.终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360的整数倍. (2)终边在同一直线上的
10、角之间相差180的整数倍. (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.,【补偿训练】1.与-457角的终边相同的角的集合是() A.|=475+k360,kZ B.|=97+k360,kZ C.|=263+k360,kZ D.|=-263+k360,kZ 【解析】选C.因为263=-457+2360,故与-457角的终边相同的角的集合可表示为|=263+k360,kZ.,2.已知,的终边相同,那么-的终边在() A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上,【解析】选A.因为,的终边相同, 所以=k360+(kZ), 所以-=k360(k
11、Z), 所以-的终边在x轴的非负半轴上.,类型三 象限角 【典例】1.(2015渭南高一检测)给出下列四个命题,其中正确的 有() -75是第四象限角 225是第三象限角 475是第二象限角 -315是第一象限角 A.1个B.2个C.3个D.4个,2.已知角是锐角,则2是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180的正角 D.第一或第二象限角 3.已知角的顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角. (1)-50;(2)780;(3)-680.,【解题探究】1.象限角有什么特点? 提示:角的始边在x轴的非负半轴上,顶点在原点,角的终边旋转,角的终边在哪个象
12、限即哪个象限的角. 2.题2中角是锐角,则的范围是什么? 提示:090. 3.题3中如何作负角? 提示:顺时针旋转即可得到负角.,【解析】1.选D.显然正确;因为115=475-360,故475是第二象限的角,正确;因为45=-315+360,故-315是第一象限的角,正确. 2.选C.因为是锐角,所以090, 所以02180.,3.作出各角,其对应的终边如图所示. (1)-50是第四象限角. (2)780是第一象限角. (3)-680是第一象限角.,【方法技巧】 1.象限角的判定方法 (1)根据图像判定.利用图像实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0360之间的角与坐标系中的射线可建立
13、一一对应的关系. (2)将角转化到0360范围内.在直角坐标平面内,0360范围内没有两个角终边是相同的.,2.,2, 等角的终边位置的确定方法 不等式法 利用象限角的概念或已知条件,写出角的范围. 利用不等式的性质,求出2, 等角的范围. 利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.,例如,如果得到k120 k120+30,kZ,可画出0 30所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120(如图 所示).,【变式训练】(2015大庆高二检测)若是第三象限角,则180-一定是() .第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,【解题指南】利用角的对称、旋转确定角的范围. 【解析
14、】选D.因为是第三象限角,故-是第二象限角,逆时针旋转180为第四象限的角,故180-是第四象限的角.,【补偿训练】若角满足=-30+k180,kZ,则角的终边落在() A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 【解析】选C.当k=2n时,=-30+n360是第四象限角,当k=2n+1时,=150+n360是第二象限角.,易错案例 象限角的判断 【典例】已知是第一象限角,那么角2的终边位于_.,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:出错的根本原因是只注意到了象限角,忽视了终边在坐标轴上的角也在2的范围内.,【自我矫正】因为是第一象限角, 所以k36090+k360,kZ, 所以k7202180+k720,kZ, 则角2的终边位于第一、二象限,及y轴的正半轴. 答案:第一、二象限及y轴的正半轴,【防范措施】角的终边范围的确定 (1)确定角的终边的位置时一般要先求出角的范围(含k),再给k赋值,根据赋值后的角的范围确定角终边的位置,有时需要对k分奇偶分别赋值. (2)确定角终边的位置时,不能只关注角的终边所在的象限,还要考察角的终边是否在坐标轴上.,
