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1、导数,第三节,学习重点,函数的连续性概念,导数的定义及几何意义,函数的连续性(continuity),气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。,当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。,连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。,连续的定义,自变量的增量,函数的增量,如果函数y=f(x)在x0点连续, 则必须同时满足下列三个条件： (1) f(x)在x0的某个邻域内有定义 极限值 存在 极限值与函数值 相等,增量的概念,则有,连续函数在几何图象上是一条连续不断的曲线.,连续性举例,1
2、. 讨论绝对值函数在x=0处的连续性.,解 因为,所以,所以,所以绝对值函数在 x=0 处连续,连续性举例,2. 证明: 余弦函数 在 内连续.,证明,所以,由 的任意性可知原命题成立.,一般地, 证明一个函数在某个区间内连续时, 宜使用等价定 义式 ; 若要证明函数在某点处连续, 则宜使用原定 义式 .,连续性举例,解 因为,要使函数在 点连续,则应有,所以,右连续 （Continuity from the right）,单侧连续,左连续 （Continuity from the left）,初等函数的连续性,函数在开区间 上每一点都连续，称为在开区间 内连续。,函数在开区间 上每一点都连续
3、，且在 点右连续， 点左连续, 称为在闭区间 上连续。,由连续性的定义及极限的运算法则，可以得到如下结论：,初等函数在其定义区间内都是连续的。,所谓定义区间，即指包含在定义域内的区间。,函数的间断点 discontinuity,Discontinuity at x =1 and x =2,若函数 有下列三种情形之一：,则称函数 在点 处不连续，点 称为函数 的间断点。,不连续点 即为间断点,函数的间断点的分类,第一类间断点左、右极限都存在的间断点。,可去间断点左、右极限相等的第一类间断点。,跳跃间断点左、右极限不相等的第一类间断点。,第二类间断点非第一类的间断点。,无穷间断点使函数为无穷大的间
4、断点。,振荡间断点极限不存在，也非无穷大的间断点。,可去间断点(1)第一类,点 x =1 是函数 f (x) 的可去间断点,可通过改变函数 f (x) 在 x =1 处的定义，令 f (x)=1， 则 f (x) 在 x =1成为连续。,函数的间断点的类型,可去间断点(2)第一类,函数的间断点的类型,例如,但 不存在,点 称为函数的可去间断点。,可通过补充函数在 处的定义，令 ，则函数 在 处连续。,跳跃间断点第一类,点 x =0是函数 f (x) 的跳跃间断点。,函数的间断点的类型,函数的间断点的类型,无穷间断点第二类,振荡间断点第二类,点 x =0是函数 f (x) 的 振荡间断点。,函数
5、的间断点的类型,解 这是一个初等函数，其定义域为,而,所以，x =1是函数的第一类的可去间断点；x =2是函数的第二类的无穷间断点。,例题,解,由 的定义可知，函数在 内连续,而,所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)， x=0是函数的第一类间断点(跳跃间断点)。,解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有,而,最值定理（The max-min theorem）,闭区间连续函数的性质,在闭区间 a,b 上连续的函数, 一定能取得它的最大值和最小值。,说明：可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。,介值定理 The intermediate value theore
6、m,设函数 f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 且最大值M不等于最小值m , 那末，对介于m与M之间的任意数C ，在开区间（ a, b）内至少存在一点，使得,零点存在定理,设函数 f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 且 f (a) 与 f (b) 异号, 那末， 在开区间 （ a, b）内至少存在一点，使得,由零点存在定理可知，原方程在-1，5内必有根。,练习,解,解,又,而,例题,导数概念的物理背景变速直线运动的即时速度,极限思想：令 t t0，取平均速度的极限，则可得到在t0时刻的即时速度，即,直观想法：时间间隔越小，平均速度越接近即时速度。,如果质点做匀速直线运动，则任意时刻
7、的速度也就是平均 速度;如果质点做变速直线运动，该如何确定某一时刻的即时 速度 呢？,问题：设某质点做直线运动，运动方程为 S=S(t),我们可用一段时间内,质点所发生的位移 除以所花的时间t, 得到平均速度，即,导数概念的几何背景曲线的切线问题,问题：如右图所示，已知曲线及曲线上的一点M , 如何确定曲线在点 M 处的切线？,过点 M 作曲线的割线 MN，当动点N 沿曲线向定点 M 靠拢时，割线 MN 则绕定点 M 旋转而趋于极限位置 MT , 得到曲线在点 M 的切线。,切线：割线的极限位置。,上述过程可用极限式表示如下：,变化率问题,设某个变量 Q 随时间 t 的变化而变化，时刻 t 取
8、值 Q (t),从时刻 t 经过 t 时间， 量 Q 的改变量为,量 Q 的平均变化率为,导数 Derivative的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,设函数 y = f(x) 在点 x=x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( 点 x0 +x 仍在该邻域内）时， 相应地函数 y 取得增量 y = f (x0 +x)- f (x0 )，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y = f(x)在点 x0 处可导 (derivable)，并称这个极限为函数 y = f(x)在点 x0 处的导数(derivative)，记为 。,即,在引例中有
9、,导数定义的不同形式,导数是函数变化率的精确描述，从数量方面刻画了变化率的本质,差商,解答,例题 设 ，求,解,所以,如果将式中的定点x=2改为任意点x,则有如下结果,其结果表示是x的函数，称之为导函数。,若函数 y=f (x) 在开区间 I 内的每点处都可导，就称函数 y=f (x) 在开区间 I 内可导。这时，对于任意 x I , 都对应着一个确定的导数值，这样构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y=f (x) 的导函数（简称导数derivative），记作：,把 x0 换成 x , 可得,或,点导数与导函数的关系,导函数的概念,如上例中,利用定义求导数举例,例1 求常值函数 的导数
10、。,解,所以常数的导数等于零，即,例2 求正弦函数 的导数。,所以,同理可求得,解,对一般的幂函数有,例3 求幂函数 的导数。,解,所以,例如,例4 求对数函数 的导数。,解,所以,特别,单侧导数,左导数 （derivative on the left）,右导数 （derivative on the right）,和,例5 已知,解 因为,所以,，从而,导数的几何意义,法线是过切点且与切线垂直的直线,的切线方程为,法线方程为,解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为,所以，所求切线方程为,所求法线的斜率为,所求法线方程为,例6 求双曲线 在点 处的切线的斜率，并写出曲 线在该点处的切线方程和法
11、线方程。,即,即,函数的可导性与连续性的关系,函数 f (x) 在某点可导，则在该点连续。,证明 设函数 在点 可导,则 存在,于是,所以,即函数 在点 处连续,例7 讨论函数 f (x)= |x| 在点 x=0 的连续性和可导性。,故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 连续,故函数 f (x)= |x| 在点 x=0 不可导,连续是可导的必要非充分条件,解,函数 f (x) 在某点连续，却不一定在该点可导。,小结：本节的主要内容 、熟练掌握函数的连续性的概念及导数的概念； 、掌握讨论函数的连续性的方法及初等函数的连续性结论； 、掌握函数的间断点的分类； 、熟练掌握利用导数定义求导数的方法； 、掌握导数的几何意义； 、理解可导性与连续性之间的关系。,
