《2[1]4无穷小与无穷大培训讲学》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2[1]4无穷小与无穷大培训讲学（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 极限与连续,2.1 数列极限,2.2 函数极限,2.3 函数极限的性质与运算法则,2.4 无穷大量与无穷小量,2.5 函数的连续性,2.6 闭区间上连续函数的性质,一、无穷小量与无穷大量的定义,二、无穷小与无穷大的关系,2.4 无穷小量与无穷大量,三、无穷小的性质,四、无穷小与无穷大的阶的比较,一、无穷小与无穷大的定义,无穷小量的定义：,定理 ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,课本P39,无穷大量的定义：,与无穷小相仿,应当注意以下几点:,(2) 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,二、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.
2、,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理 在自变量的同一变化过程中,说明:,解,求,解 x = 1 时，,分母 = 0 , 分子0 ,但因,以下函数在怎样的变化过程中是无穷小？你能 写出相同过程下的无穷大吗?,解,三、无穷小的性质,性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,性质2 有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷小. 推论1 常数与无穷小的乘积仍为无穷小,性质3 有限个无穷小的乘积仍为无穷小. 推论2 无穷小的正整数次幂仍为无穷小.,无穷大是否有相似的性质？,解,解,都是无穷小,引例 .,但,显然两个无穷小的商的极限会出现不同的情况，原因在哪儿？,四、无穷小量与无
3、穷大量阶的比较,已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的 商 将有什么样的情况呢？,定义,若,则称 f(x) 是比 g(x) 高阶的无穷小,若,若,若,或,则称 f(x) 是比 g(x) 低阶的无穷小;,则称 f(x) 是 g(x)的 同阶无穷小;,则称 f(x) 是 g(x)的 等价无穷小,记作,故,时,解,证明: 当,时,证:,无穷小的性质,设对同一变化过程 ,f(x) , g(x)为无穷小 ,说明:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则.,等价无穷小替代定理：,则:,例如,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换.,课本P42性质2.13,求,解,原式,求,解,解,解,解,解,思考与练习,填空题 ( 14 ),(2),求 (1),请自己动手做一下,思考题,答案,答案,答案,课堂练习题,答案,答案,返回,返回,返回,返回,返回,返回,1.证明：,返回,2.证明,返回,讨论以下函数在何种情况下为无穷小? 无穷大?,解,解,解,
