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1、第四节 傅里叶级数,一、三角级数 三角函数系的正交性,1.三角级数,讨论三角级数，要研究它的收敛区域以及和函数的性质 .显然，它的和函数一定是周期函数 .因此，一个函数能展成三角级数的必要条件是周期为 2的函数.,2.三角函数系的正交性,三角函数系,二、函数展开成傅里叶级数,问题,1.给定一个 2周期的函数 , 若能展开成三角级数,系数 是什么?,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,假设三角级数可逐项积分,傅里叶系数,傅里叶级数,问题,2.狄利克雷(Dirichlet)收敛定理,注意:,函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.,解,所给函数满足狄利克雷收敛条件., 0,和函数
2、图象为,所求函数的傅氏展开式为,Fourier级数收敛于 0 .因此,注意,对于非周期函数,如果 只在区间 上有定义,并且满足狄氏收敛条件,只需作周期延拓，也可展开成傅氏级数.,解,所给函数满足狄利克雷收敛条件.,将 f (x) 以 2为周期延拓 到整个实数域上 .,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求数项级数的和,注：若函数定义在不同的区间上，则 f 的 F 级数也不同.,如: 设 f (x) 以 2为周期 , f (x) x , x , , 它的 F 级数为, f (x) x , x 0 , 2) , 它的 F 级数为,例3 设 f(x)是周期为 2的周期函数，它在( ， 上的表达式为
3、 设 f(x)的 F级数的和函数为 S(x)，则 S(2 ) ？； S( )？；,1,3/2,2,试证明：,证,例4,结论可证.,思考题,思考题解答,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克
4、雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体
5、逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,四、小结,1.基本概念；,2.傅里叶系数；,3.狄利克雷充分 条件；,4.非周期函数的 傅氏展开式；,5. 傅氏级数的意义整体逼近,
