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1、/* Numerical Methods for Ordinary Differential Equations */, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */:,只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述IVP存在唯一解。,要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 x1 xn= b 处的近似值,节点间距 为步长，通常采用等距节点，即取 hi = h (常数)。,第9章 常微
2、分方程数值解,1 引言,2 欧拉方法,/* Eulers Method */, 欧拉公式：, 欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有 1 阶精度。,Ri 的主项 /* leading term */,亦称为欧拉折线法 /* Eulers polygonal arc method*/,例1：,解：h=0.2 , xi=1+ih， 精确解为：y=x2-2x y1= y0+hf(x0, y0)=-1 y2= y1+hf(x1, y1)=-0.9333 y3= y2+hf(x2, y2)=-0.8 y4= y3+hf(x3, y3)=-0.6 y5= y4+hf(x4, y4)=-0.3333 y6= y
3、5+hf(x5, y5)=0,可以看出误差随着计算在积累。,步长h=0.2,1 Eulers Method,/* trapezoid formula */, 显/隐式两种算法的平均,注：的确有局部截断误差 ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法。, 中点欧拉公式 /* midpoint formula */,假设 ，则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,需要2个初值 y0和 y1来启动递推 过程，这样的算法称为双步法 /* double-step method */，而前面的三种算法都是单步法 /* single-step met
4、hod */。, 梯形公式,1 Eulers Method,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?,Do you think it possible?,Well, call me greedy,OK, lets make it possible.,/* modified Eulers method */,注：此法亦称为预测-校正法 /* predi
5、ctor-corrector method */。可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,1 Eulers Method, 改进欧拉法,例2：,解：梯形公式为：,可以预测校正方法来求：,解yk+1出来比较困难，遇到的是一个二次方程，,即：,/* Runge-Kutta Method */,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,斜率 一定取K1 K2 的
6、平均值吗？,步长一定是一个h 吗？,3 龙格 - 库塔法,2 Runge-Kutta Method,首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在 的前提假设下，使得,Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开,Step 2: 将 K2 代入第1式，得到,2 Runge-Kutta Method,Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ，则必须有：,这里有 个未知数， 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注意到， 就是改进的欧拉法。,Q: 为获
7、得更高的精度，应该如何进一步推广？,其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。,2 Runge-Kutta Method, 最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：,例3：,其精确解为：,用经典龙格库塔方法，h=0.1,(1) 求y1，此时,解：,以下计算用表格列出：,附：三阶龙格库塔方法:,共有八个参数：1, 2, 3, 1, 2, 21, 31, 32，,1、三阶龙格库塔公式格式如下：,将 f 在 xk 点泰勒展开：,将K1,K2按展开式代入K3得： (高于h2的不计),将 y(xk+1) 在 xk 点泰勒展开：,其中:,欲使局部截断误差 y(x k+1) -yk+1=O(h4) 得：,比较:,八个未知量， 六个方程， 有无穷多组解， 但其截断误差 均为O(h4) 均是三阶精度。,三阶Kutta公式,此公式称为Kutta公式。,得:,在前面公式中，若令:,
