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1、1,一个方程的情形,方程组的情形,小结 思考题,implicit function,8.5 隐函数的求导公式,一、 一个方程的情形,在一元微分学中,的求导法.,已经讨论过方程,下列定理给出了隐函数存在的充分条件.,所确定的隐函数,隐函数存在定理,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,证明,（的存在性略）,公式推导如下,解,令,则,例,(1) 有连续偏导数，,法1：用公式,法2,方程确定了1个1元函数,方程两边对x求导：,余下同法1,解,令,则,例,法1：用公式,法
2、2,方程确定了1个1元函数,先变形方程：,例,方程两边对x求导：,则方程,内恒能唯一确定具有连续偏导数的函数,并有,若三元函数,它满足条件,在点,隐函数存在定理,的某一邻域,的某一邻域内满足:,在点,(1) 具有连续偏导数;,公式推导如下:,将恒等式,将,代入,两边对x 求导：（ y 看作常数）,对 y求导：（ x看作常数）,例,解,则,令,法1：用公式,例,法2,方程确定了1个2元函数,方程两边对x 求导：（ y 看作常数）,方程两边对y求导：（ x看作常数）,例,将隐函数方程两边取全微分,法3,利用全微分.,15,将,再一次对y求偏导数,得,对复合函数求高阶偏导数时,需注意:,导函数仍是复
3、合函数.,故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.,方程确定了1个2元函数,解,练习,方程两边对x 求导：（ y 看作常数）,再将上式两边对x求偏导, （ y看作常数）,由原方程x, y的对称性知,思路：,方程确定了1个2元函数,或,或,例,整理得,解,整理得,整理得,隐函数求导原则,n个方程,m个变量的方程组,可确定 n个（m-n元）函数，,一般的：,由题目情况，,其余m-n个变量作自变量，,选定n个变量作函数变量，,方程组对某一个自变量求导时，,其余自变量,求导后，,从含有偏导数的方程组中,求出所求偏导数。,看作常数，,一个方程推广到多个方程,例,1个方程2个变量，,确定了1个,
4、1元函数,1个方程3个变量，,确定了1个,2元函数,例 设有隐函数 ,其中F的偏导数连续,求,解,令,法一,由公式.,将隐函数方程两边取全微分,即,故,从而,此法步骤清楚,法二,利用全微分.,得,将方程两边求导.,对x求偏导:,u,v,即,自己练习,法三,如果方程组为,则可求,方程组两边关于x求导,二、 方程组的情形(隐函数组),2个方程3个变量，,确定了2个,1元函数,如果方程组为,可则求,方程组两边关于x求偏导, y看成常数,方程组两边关于y求偏导, x看成常数,则可求,2个方程4个变量，,确定了2个,2元函数,将恒等式,两边关于x求偏导,解这个以,为未知量的线性方程组,由链导法则得:,求,解得,当系数行列式不为零时,即,雅可比行列式,Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851,同理,两边关于y求偏导,得,求,例,解,方程组两边对,x求导,2个方程3个变量，,确定了2个,1元函数,得,得,例,设方程组,确定函数,解,原方程组两边分别对,x求偏导数, y看成常数,2个方程4个变量，,确定了2个,2元函数,解方程组得,移项得：,原方程组两边分别对,解方程组得,练习,y求偏导数, x 看成常数,隐函数的求导法则,小结,41,研究生考题, 计算, 5分,解,法一,得,得,练习,两边求全微分,两边求全微分,42,法二,用公式:,所以,
