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1、1,实际应用时，各种数字系统或产品的采样率往往是根据对象而定的、是不一样的、是多样化的，而且系统之间经常需要相互交换信号和处理对方的信号；但是，在处理数字信号时，信号的采样率和系统的采样率必须相同。 现实中我们希望一种通讯网络能够有效地传输各种采样率的数据，希望一种存储媒介能够尽可能多地保存信息，希望一种播放器能够正确地发出各种制式的信号。,第9章 多采样率的系统,2,9.1 多采样率的概念 多采样率是指数字信号处理系统中存在多种采样频率的情况，简称多速率，它是面对不同的应用选择不同的采样率的策略，目的是降低数字信号处理器的成本。 多采样率技术主要解决多速率信号处理的问题，它的宗旨是尽量让一种
2、速率的数字系统能够处理多种速率的信号。如何提高多速率信号的处理效率呢？答案是：改变数字信号的采样率，使数字信号主动地适应加工处它的数字系统。 多采样率的应用非常广泛，在现代的数字信号处理应用中，要求系统能够处理不同采样率的信号。这种有多种采样率的系统叫做多速率系统。,3,9.2 整数倍降低采样率 在数字域中降低采样率的方法是对原序列x(n)重新采样，也就是对x(n)按固定的间隔或距离提取样本，形成一个新的序列y(m)， 这种做法叫做抽取，也叫下采样。例如时序间隔D=2的抽取，,(9.1),图9.1,5,这么一来，x(n)、w(n)和y(m)三个序列的关系就是 将这个关系应用到公式(9.5)，得
3、到 它是Y(z)通向X(z)的桥梁。剩下的任务是找到W(z)和X(z)的关系。为了建立w(n)和x(n)的采样关系，我们制作一个周期是D的脉冲序列，即,(9.7),(9.8),6,根据离散傅里叶级数的定义(3.79)，这个周期脉冲序列可以表示为 让脉冲序列s(n)与被抽取序列x(n)相乘，就得到w(n)和x(n)的采样关系,(9.9),(9.10),(9.11),7,它是一种等间隔的数字采样关系。利用这个关系(9.11)和公式(9.10)，临时序列w(n)的z变换是 将它代入公式(9.8)，就可以得到X(z)和Y(z)的关系,(9.12),(9.13),8,只要将z=ej代入上式，就可以得到抽
4、取的频谱关系 借鉴X(ej)=X()的关系，还能将抽取的频谱关系(9.14)变为简单的形式 该式说明：按照时序间隔D对x(n)抽取后得到序列y(m)，它的频谱Y()是D个X()变形后相加的结果。,(9.14),(9.15),9,（2）从模拟域的角度观看 考虑用两种周期的脉冲函数(4.4)对模拟信号xa(t)进行理想采样(4.5)。根据公式(4.9)计算第一种采样信号xs1(t)的频谱，得到 同理，第二种采样信号xs2(t)的频谱是 高采样率fs1和低采样率fs2的关系是fs2=fs1/D。,(9.16),(9.17),10,为了获得两种采样信号xs1(t)和xs2(t)之间的频谱关系，设j=D
5、i+k，k=0、1、D-1，并将这个关系代入xs2(t)的频谱(9.17)，得到 它显示两种采样率的信号xs1(t)和xs2(t)的频谱关系。,(9.18),11,无论是从数字域的角度还是从模拟域的角度观察抽取，它们的结论(9.15)和(9.18)都是低采样率频谱是高采样率频谱位移的组合。 9.2.2 防止抽取的失真 完整的抽取器由数字低通滤波器和抽取器组成， 为了避免在抽取时发生混叠失真，在抽取前必须用数字低通滤波器对被抽取的序列x(n)进行滤波。低通滤波器的理想频率特性是,图9.8,12,截止频率D的选择要求尽可能多地保留有用的低频成分和防止高频成分混叠失真。截止频率D的选取可参考抽取的频
6、谱关系 该式显示：抽取序列y(m)的频谱Y()是D个X()的频谱扩展并且移位的组合。 当频谱扩展D倍时，X()在主值区间-, )的=/D成分将进入=D的范围。这些进入其它周期的成分都会引起混叠失真，必须在抽取前将它们消除掉。,(9.21),(9.22),13,抽取滤波器就是完成这项任务的，它应该保护被抽取信号的=0/D低频成分，同时消除那些会引起混叠失真的=/D高频成分。所以，抽取滤波器截止频率的最佳选择是D=/D。当然，选择D/D也能防止抽取的混叠失真，但是，这么做会失掉更多的原序列高频成分。 让我们观看几种抽取的频谱移位组合。 当D=1时，k=0，X(/D)=X()，没有X()移位。 当D
7、=2时，k=0和1，X(/D)=X(/2)，有一个X(/2)向右移动2；这时抽取序列的频谱是X(/2)和X(-2)/2的组合，移位的频谱正好填补X()扩展2倍造成的相邻频谱的2长度的空白区；由于x(n)抽取前经过截止频率D=/2的低通滤波，所以两个频谱相加时没有混叠失真。,14,当D=2时，两个扩展频谱合成的新频谱还是周期频谱。,图9.10,15,为了保证滤波后的信号不失真，抗折叠滤波器应该采用FIR线性相位滤波器。 如果抽取滤波器按照卷积公式 处理信号x(n)，就能得到输出信号w(n)。不过其效率并不高，因为抽取时只需要w(n)的D分之一样本。你可比较下面两种方法的区别,(9.24),16,
8、抽取滤波器按照卷积公式 处理信号x(n)并不是好事。因为抽取时只需要w(n)的D分之一样本。以N点长的FIR抽取滤波器为例，,(9.24),图9.14,图9.15,17,左图表示先滤波后抽取的方法。这种方法的滤波器工作在高速率fx的状态，每输入一个x(n)样本，抽取滤波器都要计算N次乘法，而该滤波器每输出D个w(n)样本中只有一个样本获得应用。 右图表示混合抽取的方法。将抽取操作放在乘法运算之前，就能让乘法器工作在低速率fy的状态，即每输入D个x(n)样本，抽取器后面的乘法器才做一次乘法运算。 相比之下，混合抽取法的计算量约为先滤波后抽取的方法的计算量的1/D倍。,18,9.2.3 抽取的用途
9、 抽取的主要用途是减轻数字产品对模拟前置滤波器的苛刻要求。 因为按采样定理所说的，以奈奎斯特速率fs=2fa的名义采样一个模拟信号时，需要一个过渡带陡峭的模拟前置滤波器，将输入信号的频谱限制在有用成分的最高频率fa内。 如果应用过采样和抽取相结合的先进技术，模拟前置滤波器的苛刻过渡带就可以得到缓解。过采样就是采样率fx大于有用信号最高频率fa两倍的采样。这种先进技术的原理如图9.16所示，首先用简单的模拟前置滤波器粗略地排除无用的高频成分，然后对这种模拟信号xa(t)以很高的速率fx=Dfs进行采样，得到的离散时间信号x(n)再经过D倍的抽取，,19,变成低速率fy的数字信号y(m)。过采样的
10、前置滤波器的频谱H(f)情况如图9.17所示，它的过渡带f=fpassfstop可以很宽，,图9.16,图9.17,20,9.3 整数倍提高采样率 采样率的提高是由内插来完成的。内插是指在毗邻的的低采样率样本之间插入额外的样本，插入的样本数值是经过FIR滤波器计算得到的。 事物的变化总是有过程的，按照这个规律，内插滤波器的工作似乎应该是平滑内插0值的序列w(m)，合理的平滑内插值似乎是它们前后两个样本的平均值。让我们从频谱的角度来看这些问题。,图9.20,21,9.3.1 内插前后的频谱 根据图9.20推理，等间隔I倍内插的过程是：首先，在x(n)的样本之间等间隔地插入I-1个0值样本；然后，
11、对w(m)进行低通滤波，使w(m)的跳跃波形变得光滑自然。 根据z变换的定义知道，低速率的序列x(n)的z变换是 如果按照内插倍数I对序列x(n)的样本均匀地插入0值，则上采样器的输出序列,(9.35),(9.36),22,按照z变换的定义(4.31)，高速率序列w(m)的z变换是 将z=ej代入上式，就可以知道I倍上采样器的输入输出的数字频谱关系， 这说明简单内插的序列w(m)的频谱是原序列x(n)频谱的I倍压缩。,(9.37),(9.38),23,例题9.3 假设序列x(n)的频谱是X()，如图9.21所示， 请你画出内插倍数I=2的内插0值的序列w(m)的频谱W()，并分析X()和W()
12、的区别。 解 根据内插的频谱关系(9.39)，按内插因子I=2上采样的w(m)的数字频谱W()如图9.22所示，,图9.21,24,因为序列的频谱都是周期为2的周期函数，所以频谱X()和W()的周期都是2。从主值区间=02来观察，X()的形状和W()的形状完全不同，但W()在=00.5的部分与X()在=0的部分形状相同，W()的=0.51.5的部分是2倍上采样造成的频谱影像。 例题9.3说明一个道理：铲除W()的=0.51.5的成分，这是2倍内插的内插滤波器的任务，也是它的计算准则。,图9.22,25,9.3.2 防止内插的失真 为了使内插序列忠实于原序列的变化规律，完整的内插系统应该配置低通
13、滤波器，如图9.24所示， 合理地消除跳跃的0值。 为了更好地运用内插，我们最好弄清楚两个问题：一个是怎样选择内插滤波器的截止频率I，另一个是如何安排内插滤波器的计算方式？,图9.24,26,（1）内插滤波器的截止频率 由于I倍内插的频谱W()是被内插序列的频谱X()压缩I倍的结果，例如3倍内插的频谱关系图， 实际应用中，往往希望内插序列能够代表原序列的模拟信号。从频谱关系(9.39)推敲，只要彻底消除W()在|=/I的高频成分，就能让内插序列的频谱和原序列的频谱相同，就能使内插的数据忠实于原序列的变化规律。,图9.25,27,根据这些分析，我们应该选择内插滤波器的截止频率I=/I。设计内插滤
14、波器的准则是理想频谱 滤波器的通带幅度为何选择HI()=I，这个问题可以从频域的角度看。如果滤除内插频谱W()中的I-1个压缩频谱，那么，得到的频谱Y()的幅度面积将变为W()的1/I。选择内插滤波器HI()在通带的幅度等于I，就能够抵消这种频谱能量的下降，保证y(m)的幅度与x(n)的相等。,(9.40),28,从时域的角度来看它们数模转换的情形。对采样率是fx的数字信号x(n)进行数模转换，它的零阶保持器维持每个样本电压x(n)不变的时间是一个采样周期Tx，得到的阶梯状模拟电压x(t)如图9.26所示。 如果内插倍数I=3，内插0值样本的序列w(n)的数模转换将按照速率fw=Ifx=3fx
15、进行，,图9.26,29,它的零阶保持器维持每个样本电压w(m)不变的时间是一个采样周期Tw=Tx/I=Tx/3，得到的阶梯状模拟电压w(t)如图9.27所示；这样一来， 每次插入x(n)样本之间的2个0值样本在数模转换后都变成了两个0值的阶梯脉冲。当w(t)经过平均处理，其轮廓幅度将为阶梯信号x(t)轮廓幅度的1/3。 所以，低通滤波器的通带幅度应该选择HI()=I。,图9.27,30,简单的I倍内插的特点是：内插序列w(m)的每I个样本中有(I-1)个是零值样本，零乘以任何数都等于零。这个特点意味着不用计算。例如I=4的内插，如果它的内插滤波器采用N=12点长的FIR滤波器，则滤波器h(m)处理序列w(m)的基本方式是 不过这种方法并不可取，因为每4个输入样本w(n)中有3个零值样本，它们的乘法和累加都可以不做。可是，计算机是机器而不是人，它不知道哪些乘法和加法是不必计算的。,(9.41),31,根据内插的特点和参考公式(9.41)，每个x(n)对应4个y(n)，可以这么安排输出的每4个样本的计算
