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1、广东省梅县东山中学2012 届高三数学上学期期中试题理【会员独享】 1 / 5 20112012 广东梅县东山中学高三上学期期中考试数学试题（理科） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1已知函数 1 ( ) 1 fx x 的定义域为 M ，函数( )ln(1)g xx的定义域为 N， 则MN= ( ) A|1x xB|1 x xC| 11xxD 2若向量, ,a b c满足/ /ab，且ac，则(2 )cab ( ) A4 B 3 C2 D0 3已知 3 (,0),sin 25 ，则cos()的值为 ( ) A 4
2、 5 B 5 4 C 5 3 D 5 3 4将函数2 sin2yx的图象向右平移 6 个单位后，其图象的一条对称轴 方程为 ( ) A 5 12 xB 7 12 xC 3 xD 6 x 5若函数 tan(0) (2) lg() (0) xx f x xx ，则(2)( 98) 4 ff ( ) A 1 2 B 1 2 C2 D2 6若0 2 ，0 2 ， 1 cos() 43 ， 3 cos() 423 ， 则cos() 2 ( ) A 3 3 B 3 3 C 6 9 D 5 3 9 7对于任意 1,1a，函数 2 ( )(4)42f xxaxa的值恒大于零，那么x的 取值范围是 ( ) A(
3、1,3)B(,1)(3,)C(1,2)D(3,) 8函数)(xf的定义域为R，2) 1(f，对任意xR，2)(xf，则42)(xxf的解集 为 ( ) A （1，1）B （1， +）C （，1）D （，+） 二、填空题（本大题共6 小题，每小题5分，满分30 分） 9若 2 0 9 a x dx ，则a 10在ABC中，已知 222 sinsinsin3sinsinACBCB，则角A的值为 11函数3sin2)(xxf的图象在 3 x处的切线方程为 12若不等式|23|4x与不等式 2 0 xpxq的解集相同，则 p q 13已知函数( )2 x f xexa有零点，则实数a的取值范围是 14
4、设函数( )yf x由方程| 1x xy y确定 , 下列结论正确的是 ( 请将你认为正确的序号都填上) ( )f x是R上的单调递减函数； 对于任意xR，( )0fxx恒成立； 对于任意aR，关于x的方程( )f xa都有解； ( )f x存在反函数 1( ) fx ，且对于任意xR，总有 1 ( )( )f xfx成立 三、解答题（本大题共6 小题，满分80 分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15( 本小题满分12 分) 在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边若2a， 4 C， 2 5 cos 25 B （1）求角B的余弦值； （2）求ABC的面积S 16( 本
5、小题满分12 分) 已知aR, 命题:p实系数一元二次方程 2 20 xax无实根； 命题:q存在点( , )x y同时满足 22 4xy且 22 ()1xay 广东省梅县东山中学2012 届高三数学上学期期中试题理【会员独享】 2 / 5 试判断：命题p是命题q的什么条件 ( 充分、必要、充分不必要、必要不充分、充要或既不充 分也不必要条件) ？请说明你的理由 17( 本小题满分14 分) 已知函数 2 ( )(2cossin ) 2 x f xaxb (1) 当1a时，求函数( )f x的单调递增区间； (2) 当 0a ，且0,x时，函数( )f x的值域为3,4，求a，b的值 18(
6、本小题满分14 分) 请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示 的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P，正 好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个 端点设()AEFBx cm (1) 某广告商要求包装盒侧面积S（cm 2）最大，试问 x应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒容积V（cm 3 ）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面 边长的比值 19( 本小题满分14 分) 已知函数( )2lnf xxax ()aR (1) 讨论函数( )fx的单调性； (2
7、) 若函数( )f x有两个零点，求实数a的取值范围； (3) 若函数( )f x的最小值为( )h a，m，n为( )h a定义域A中的任意两个值， 求证： ()( ) () 22 h mh nmn h 20( 本小题满分14 分) 对于正整数a，b， 存在唯一一对整数q和r， 使得abqr，0 rb. 特别地， 当0r 时， 称b能整除a，记作|b a，已知1,2,3,23A (1) 存在qA，使得201191(091)qrr，试求q，r的值； (2) 求 证 ： 不 存 在 这 样 的 函 数:1,2,3fA， 使 得 对 任 意 的 整 数,x yA， 若 | 1,2,3xy，则( )
8、( )f xfy； (3) 若 BA ，()12card B()card B指 集 合B中 的 元 素 的 个 数 ) ， 且 存 在 ,|a bB ba b a，则称B为“和谐集” . 求最大的mA，使含m的集合A的有 12 个元 素的任意子集为“和谐集”，并说明理由 20112012 年度广东梅县东山中学高三上学期期中考试数学试题答案（理科） 一、选择题（本大题共8 小题，每小题5分，满 40 分） xx EF AB DC (18)第题图 广东省梅县东山中学2012 届高三数学上学期期中试题理【会员独享】 3 / 5 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案C D A A C D B B
9、二、填空题（本大题共6 小题，每小题5 分，满分30 分） 9 3 10 5 6 11 3 yx 12 12 7 13(,2ln22 14 三、解答题（本大题共6 小题，满分80 分） 15( 本小题满分12 分) 解： (1) 由题意，得 222 53 cos2cos12()1 255 B B； 4 分 (2)由(1)得 4 sin 5 B，由 4 C得 33372 sinsin()sincoscossin 44410 ABBB 由正弦定理得 210 sinsin7 7 22 102 acc c AC , 111048 sin2 22757 SacB故ABC的面积是 8 7 12 分 16(
10、 本小题满分12 分) 解： 若命题p为真，可得 2 80( 2 2,22)aa 4 分 若命题q为真，可知圆 22 4xy和圆 22 ()1xay有交点，于是由图形不难得到 3, 11,3a，若令集合( 2 2,22)A，集合 3, 11,3B， 9 分 可知集合A和集合B之间互不包含，于是命题p是命题q的既不充分也不必要条件. 12分 17( 本小题满分14 分) 解： (1) 2 ( )(2cossin )(1cossin )(sincos ) 2 x f xaxbaxxbaxxab 2 sin() 4 axab 5 分 若1a, 则( )2sin()1 4 f xxb 由22 242
11、kxk，kZ得 3 22 44 kxk，kZ 1a 时，( )f x的单调递增区间为 3 2,2() 44 kkkZ 9 分 由0 x得 5 444 x 2 sin()1 24 x又0a (21)2 sin() 4 abaxabb依题意，得 (21)3 4 ab b 解得 12 4 a b 故12a，4b 14分 18( 本小题满分14 分) 解： (1) 根据题意有 2222 604(602 )2408Sxxxx 2 8(15)1800(030)xx所以x=15cm时包装盒侧面积S最大 . 6 分 (2) 根据题意有 222 (2 )(602 )2 2(30)(030) 2 Vxxxxx，
12、所以，6 2 (20)Vxx；当020 x时，0V，当2030 x时，0V所以， 当x=20时 ，V取 极 大 值 也 是 最 大 值 . 此 时 ， 包 装 盒 的 高 与 底 面 边 长 的 比 值 为 2 (602 ) 1 2 2 2 x 答: 当x=20(cm) 时包装盒容积V（cm 3 ）最大 , 此时包装盒的高与底面边长的比值为 1 2 . 14 分 19( 本小题满分14 分) 解： (1)( )2(0) a fxx x 令( )0fx得 2 a x 当0a时，( )0fx函数( )2lnf xxax在区间(0,)上单调递增； xx EF AB DC (18)第题图 广东省梅县东
13、山中学2012 届高三数学上学期期中试题理【会员独享】 4 / 5 当0a时，若0 2 a x，则( )0fx；若 2 a x，则( )0fx 函数( )2lnf xxax在区间(0,) 2 a 上单调递减，在区间(,) 2 a 上单调递增 . 综上所述，当 0a 时，函数( )f x的单调增区间为(0,)； 当0a时，函数( )f x的单调减区间为(0,) 2 a ，单调增区间为(,) 2 a . 4 分 (2) 由 (1) 知，当0a时，函数( )f x至多有一个零点，不符合题意，0a 又由 (1) 知，若0a，则函数( )f x在 2 a x处取得极小值()ln() 22 aa faa
14、函数( )f x有两个零点 0 ln()0 2 a a aa 解得2ae a的取值范围是(, 2 )e 8 分 (3) 由(1) (2)知，当0a时，函数( )f x无最小值； 当0a时， min ( )( )()ln() 22 aa h af xfaa 对于,(,0)m n且mn，有 ln()ln() ()( ) 22 ()ln() 222224 mn mmnn h mh nmnmnmnmn h 22 ln()ln()ln()lnln 22222422 mmnnmnmnmmnn mnmn 10 分 不妨设0mn，则1 m n ，令(1) m tt n ，则 2 ()( )222 ()(lnl
15、n)( lnln) 222211 11 m h mh nmnn mnt n ht mm ntt nn 设 22 ( )lnlnln 2ln(1)ln 2ln(1) 11 t u ttttttt tt 则 12 ( )ln 21ln(1)ln0 111 tt u ttt ttt 当且仅当1t时取“ =” 所以函数( )u t在1,)上单调递增，故1t时，( )(1)0u tu 又0n， 22 ( lnln)0 211 nt t tt 即 ()( ) ()0 22 h mh nmn h 所以 ()( ) () 22 h mh nmn h 14 分 20( 本小题满分14 分) 解： (1) 因为2
16、011 91 229，所以22,9qr . 2 分 (2) 证 明 ： 假 设 存 在 这 样 的 函 数:1,2,3fA， 使 得 对 任 意 的 整 数,x yA， 若 | 1,2,3xy，则( )( )f xfy. 设(1),1,2,3,(2),1,2,3fa afb b， 由已知ab，由于|31|2,| 32 | 1，所以(3)(1),(3)(2)ffff. 不妨令(3),1,2,3fc c，这里ca，且cb，同理，(4)fb，且(4)fc，因为 1,2,3只有三个元素，所以(4)fa. 即(1)(4)ff，但是|41|3，与已知矛盾. 因此假设不成立，即不存在这样的函数:1,2,3fA，使得对任意的整数,x yA，若 | 1,2,3xy，则( )( )f xf y. 8 分 (3) 当8m时，记7|1,2,16
