《高考复习提速专题1集合与常用逻辑用语 (15)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考复习提速专题1集合与常用逻辑用语 (15)（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题十五 数系的扩充与 复数的引入,目 录 CONTENTS,考点 数系的扩充与复数的引入,必备知识 全面把握,核心方法 重点突破,考法例析 成就能力,必备知识 全面把握,(1)复数 形如abi(a，bR)的数叫做复数，复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C表示其中a，b分别叫做复数abi的实部与虚部,考点 数系的扩充与复数的引入,1复数的有关概念,(2)复数的分类 复数abi(a，bR)， 时为实数； 时为虚数， 时为 纯虚数，即复数abi(a，bR),(3)复数相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 如果a，b
2、，c，dR，那么 .特别地，,考点 数系的扩充与复数的引入,1复数的有关概念,两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小,(4)共轭复数,当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数 复数z的共轭复数用 表示，即如果zabi，那么 abi(a，bR),共轭复数zabi(a，bR)的性质：,考点 数系的扩充与复数的引入,1复数的有关概念,(1)复平面,直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数x轴的单位是1，y
3、轴的单位是i.复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数zabi一一对应复平面内的点Z(a，b),考点 数系的扩充与复数的引入,2复数的几何意义,“虚轴上的点都表示纯虚数”这种说法是错误的，原点必须除外 复平面内各象限内的点均表示虚数 复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi) 在复平面内，如果用点Z表示zabi，用点 表示 abi(a，bR)，那么点Z和点 关于实轴对称,8,(2)复数的表示,代数表示：把复数z表示成abi(a，bR)的形式，叫做复数的代数形式,复数的向量表示：设复平面内的点Z表示复数zabi.连接OZ，则向量 由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点
4、来说)也可以由向量 唯一确定，即复数zabi一一对应平面向量 ,考点 数系的扩充与复数的引入,2复数的几何意义,9,考点 数系的扩充与复数的引入,2复数的几何意义,(3)复数的模 设复数zabi(a，bR)对应的向量为 ，向量 的模r叫做复数zabi(a，bR)的模(或长度)，记作 或 .由模的定义可知|z|abi|r (显然r0，rR)当b0时，复数abi表示实数a，此时r |a|.,复数的模的性质 设z1，z2是任意两个复数，则| z1 z2 | z1 | z2 |， (| z2 |0) ,10,(1)复数的加、减、乘、除运算法则,设 abi， cdi(a，b，c，dR)，则 加法： (a
5、bi)(cdi)(ac)(bd)i； 减法： (abi)(cdi)(ac)(bd)i； 乘法： (abi)(cdi)(acbd)(adbc)i； 除法： (cdi0),考点 数系的扩充与复数的引入,3复数的运算,复数除法的实质是分母实数化，在进行复数的除法运算时，先将两复数的商写成分式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，然后化简得到结果，这一过程叫做分母“实数化”(类比于根式除法中的分母“有理化”),11,(2)复数的运算定律,复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1， z2 ，z3C，有z1 z2 z2 z1 ，(z1 z2) z3 z1 (z2 z3),考点 数系的扩
6、充与复数的引入,复数乘法的运算定律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任意z1 ， z2 ， z3 C，有 z1 z2 z2 z1(交换律)； (z1 z2) z3 z1 (z2 z3)(结合律)； z1(z2 z3) z1 z2 z1 z3(分配律).,12,核心方法 重点突破,方法1 复数的有关概念求解,(1)复数的实部、虚部和复数的分类都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部若不是，则先把复数化为zabi的形式，其中a为实部，b为虚部，由此可以写出复数的实部或虚部，切记虚部包含它前面的负号,
7、考点 数系的扩充与复数的引入,(2)根据复数是实数或纯虚数，求参数值时，只需将复数化为标准形式，再列出实部、虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可,13,例1. 安徽六安一中2018考前模拟已知 为纯虚数，aR，则(ai) 的虚部为() A1 B1 C2 D2,【解析】方法一：复数z = 为纯虚数，a2.(ai) (2i)(i)12i ，则(ai) 的虚部为2.,【答案】C,考点 数系的扩充与复数的引入,方法1 复数的有关概念求解,方法二： 为纯虚数，设 ti(tR，t0)则2aititi2tit.由两复数相等可知 故a2.(ai) (2i)(i)12i ，则(ai) 的虚部为2.,14,考点
8、 数系的扩充与复数的引入,方法2 复数相等与共轭复数,(1)求一个复数的共轭复数，首先将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数,(2)复数相等的充要条件是两个复数的代数形式的实部与实部相等、虚部与虚部相等，所以可按以下步骤解决与复数相等有关的问题： 第一步，先根据复数的运算法则，把两个相等的复数都化为标准的代数形式； 第二步，根据复数相等的充要条件，列出相关方程(组)，把复数问题转化为实数问题进行求解,15,例2、山东、湖北部分重点中学2018冲刺模拟已知z是纯虚数，若(m2i)z23i，则实数m_,【解析】设zai(aR且a0)，由(m2i)z23i，
9、得(m2i)ai2amai23i， 解得m3.,【答案】3,考点 数系的扩充与复数的引入,16,【解析】由z 得zi.所以 i.故选A.,【答案】A,考点 数系的扩充与复数的引入,例3、若复数z ， 为z的共轭复数，则 () A.i Bi C D,17,考点 数系的扩充与复数的引入,方法3 求复数的模,(1)求复数的模时，可直接根据复数的模的公式|abi| 和性质|z1z2|z1|z2|， (|z2|0)进行计算,(2)已知复数的模求解相关量时，一般先根据复数的运算法则把复数化为标准的代数形式，再根据题目中关于复数的模的条件建立相应的关系式，或根据复数的模的定义，把问题转化为实数问题进行解决,
10、18,考点 数系的扩充与复数的引入,例4、宁夏银川一中2018第四次模拟若z112i， z2 1i，则|z1z2|() A6 B. C. D.,【解析】方法一： z1 12i， z2 1i， z1 z2 (12i)(1i)12ii2i23i.| z1 z2 | .,方法二： z1 12i， z2 1i，| z1 z2 |12i|1i| .,【答案】B,19,考点 数系的扩充与复数的引入,方法4 对复数几何意义的理解与应用,(1)复数z、复平面上的点Z及向量 三者间的联系，即 据此可知，确定复数对应的点所在的位置，只要将复数化为代数形式后，根据对应点Z的坐标确定即可，反之，根据Z的坐标即可写出复
11、数z.特别地，复数与其共轭复数在复平面上对应的点关于实轴对称,(2)由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直接,20,例5、湖北八校2017联考(二)已知复数z 则z在复平面内对应的点在() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限,【解析】z z13i在复平 面内对应的点为(1，3)，它位于第三象限,【答案】C,考点 数系的扩充与复数的引入,21,考点 数系的扩充与复数的引入,方法5 有关复数的四则运算求解,(1)复数的运算技巧 设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复
12、数问题的常用方法 在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化,(2)复数代数运算中常用的几个结论,22,【解析】 zi(2i3z)i2zi，(1i)z2i， ，z ，z1 ，|z 1| 故选B.,【答案】B,考点 数系的扩充与复数的引入,例6、河南省实验中学2017联考(六)若复数z满足 则|z1|() A. B. C. D.1,23,考法例析 成就能力,考法1 复数的代数运算,例1、课标全国20172设复数z满足(1i)z2i，则|z|() A. B. C. D.2,【答案】C,考点 数系的扩充与复数的引入,【解析】方法一：z |z| .,方法二：令
13、zabi(a，bR)，则(1i)(abi)2i，展开得(ab)(ab)i2i， ab1.z1i.|z| .,24,考法2 复数的几何意义,考点 数系的扩充与复数的引入,例2、北京20172若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是() A(，1) B(，1) C(1，) D(1，),【解析】因为(1i)(ai)aaii1(1a)(1a)i，该复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 所以a1，即实数a的取值范围是(，1) 故选B.,【答案】B,25,考点 数系的扩充与复数的引入,考法3 复数相等,例3、浙江201712已知a，bR， 34i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.,【解析】 且ab2，解得 ab2.,【答案】52,
