第5章(678)椭球面元素归算至高斯平面(高斯投影)教学材料

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1、第三章 高斯投影和导线测量算例,一、高斯投影概述 （正形投影，高斯坐标正反算及换带计算） 二、把椭球面元素归算到高斯投影面 （方向改化，距离改化） 三、各种投影方法概述 四、工程测量投影面与投影带选择的概念,本章提要,本章介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决由球面到平面的换算问题，解决相邻带的坐标坐标换算。讨论在工程应用中，工程测量投影面与投影带选择。,知识点及学习要求 1高斯投影的基本概念； 2正形投影的一般条件； 3高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换 高斯投影的正

2、算与反算 4椭球面上观测成果归化到高斯平面上的计算； 5高斯投影的邻带换算； 8.工程测量投影面与投影带的选择。,难点在对本章的学习中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用；工程测量中投影面与投影带的选择。,高斯投影是等角横切椭圆柱投影。 高斯投影是一种等角投影。它是由德国数学家高斯(Gauss，1777 1855)提出，后经德国大地测量学家克吕格(Kruger，18571923)加以补充完善，故又称“高斯克吕格投影”，简称“高斯投影”。,2、高斯投影的基本概念,N,S,c,中央,子,午线,赤道,1).高斯投影的原理:,高斯投影采用

3、分带投影。将椭球面按一定经差分带，分别进行投影。,2)、高斯投影必须满足： （1）高斯投影为正形投影， 即等角投影； （2）中央子午线投影后为直 线，且为投影的对称轴； （3）中央子午线投影后长度 不变。,3)、高斯投影的特点:,（1）中央子午线投影后为直线，且长度不变。 （2） 除中央子午线外，其余子午线的投影均为凹向中央子午线的曲线，并以中央子午线为对称轴。投影后有长度变形。 （3） 赤道线投影后为直线，但有长度变形。,（4） 除赤道外的其余纬线，投影后为凸向赤道的曲线，并以赤道为对称轴。 （5）经线与纬线投影后仍然保持正交。 （6） 所有长度变形的线段，其长度变形比均大于l。 （7）离中

4、央子午线愈远，长度变形愈大。,4)、投影带的划分,我国规定按经差6和3进行投影分带。 6带自首子午线开始，按6的经差自西向东分成60个带。 3带自1.5 开始，按3的经差自西向东分成120个带。,高斯投影带划分,6带与3带中央子午线之间的关系如图:,3带的中央子午线与6带中央子午线及分带子午线重合，减少了换带计算。,工程测量采用3 带，特殊工程可采用1.5 带或任意带,按照6带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=6N3 （N为6带的带号） 例：20带中央子午线的经度为： L。6 203117 按照3带划分的规定，第1带中央子午线的经度为3，其余

5、各带中央子午线经度与带号的关系是： L。=3n （n为3带的带号） 例：120带中央子午线的经度为 L。3 120360 ,若已知某点的经度为L，则该点的6带的带号N由下式计算： 若已知某点的经度为L，则该点所在3带的带号按下式计算： （四舍五入）,高斯平面直角坐标系的建立：,x轴 中央子午线的投影 y轴 赤道的投影 原点O 两轴的交点,O,x,y,P,（X，Y）,高斯自然坐标,注：X轴向北为正， y轴向东为正。,赤道,中央子午线,由于我国的位于北半球，东西横跨12个6带，各带又独自构成直角坐标系。 故：X值均为正， 而Y值则有正有负。,x,y,o,500km,=500000+ = 63678

6、0.360m = 500000+ = 227559.720m,国家统一坐标：,（带号）,（带号）,例： 有一国家控制点的坐标: x=3102467.280m ,y=19367622380m， （1）该点位于6 带的第几带？ （2）该带中央子午线经度是多少？ （3）该点在中央子午线的哪一侧？ （4）该点距中央子午线和赤道的距离为多少？,（第19带）,（L。=619-3=111）,（先去掉带号，原来横坐标y367622.380500000-132377.620m，在西侧）,（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）,不同点： 1、 x，y轴互异。 2、 坐标象限不同。

7、3、表示直线方向的方位角 定义不同。 相同点： 数学计算公式相同。,高斯平面直角坐标系与数学上的笛卡尔平面直角坐标系的异同点 ：,3、椭球面三角系化算到高斯平面,将椭球面三角系归算到高斯投影面的主要内容是：,将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；为了检核还应进行反算，亦即根据x，y反算B，L。 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角。 通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角。 通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平面上的直线长度。 当控制网跨

8、越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。,8.2 正形投影的一般条件（了解）,研究高斯投影应首先满足正形投影的一般条件，然后加上高斯投影的特殊条件，即可导出高斯投影坐标正反算公式。推求时抓住正形投影区别于其它投影的特殊本质：在正形投影中，长度比与方向无关。,正形投影方法都必须 遵循的法则 ：,柯西(Cauchy)黎曼(Riemann)条件,等量纬度,8.3 高斯投影坐标正反算公式（了解）,1、高斯投影坐标正算公式： B,l x,y,高斯投影必须满足以下三个条件： 中央子午线投影后为直线； 中央子午线投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。,对于任何一种投影：坐标对应关系是最主

9、要的；如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外，还有它本身的特殊条件。,2、高斯投影坐标反算公式：x,y B,l,满足以下三个条件： x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴； x坐标轴投影后长度不变； 投影具有正形性质，即正形投影条件。,当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴。当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等。两轴的交点为坐标原点。 当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。又因，即当用-B代替B时，y值不变，而x值

10、数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴。 当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线。又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴。由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的。 距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。,3、高斯投影坐标正反算公式的几何解释 ：,练习1. 已知某点的坐标：B = 290405.3373 L = 1211033.2012 计算：1). 该点的3 带和6 带带号； 2). 该点的3 带高斯投影坐标并反 算检核；,子午线收敛角的概念 如右图所示，

11、、 及 分别为椭球面点、过点的子午线 及平行圈 在高斯平面上的描写。由图可知，所谓点 子午线收敛角就是 在 上的切线 与 坐标北之间的夹角，用 表示。 在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线 及 也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于 在 点上的切线同平面坐标系横轴 的倾角。,8.4 平面子午线收敛角公式（了解）,1、求的公式,1）由大地坐标L，B计算：,在中央子午线上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。,在同一经线上(l=常数)纬度愈高，r的绝对值也愈大，在极点处最大；在同一纬线上(B=常数)，经差l的绝对值愈大，r的绝对值也愈大。,r为奇函

12、数，有正负，当描写点在中央子午线以东时，经差为正，r也为正；当描写点在中央子午线以西时，经差为负，r也为负。,2）由高斯平面坐标x，y计算：,8.5 方向改化公式（重点）,方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角。,1、方向改化近似公式的推导,误差小于0.1，可适用于三、四等三角测量的计算,2、方向改化较精密公式的推导,代入,我国二等三角网平均边长为13KM，当ym250km时，上式精确至0.01，故通常用于二等三角测量计算。,该式精确至0.001，适用于一等三角测量计算。,3、计算的检核,一个三角形的三个内角的角度改正值（同一点相应两个方向的方向改正之差）之和应等于该三角形

13、的球面角超的负值。此式可用来检查方向改正计算。,8.6 距离改化公式（重点）,由S化至D所加的S改正称为距离改正,1、研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系； 2、研究用大地坐标B、L和平面坐标x、y计算长度比m的公式； 3、最后导出距离改化的计算公式。,m1,1、平面曲线长度s与其弦线长度D的关系,由于v是一个小角，最大不会超过方向改化值，因此可把cosv展开为级数：,式中用v的最大值代替 v,已是二次项，,D与s之差 是四次项微小量。当取最大40,s=50KM时，代入上式得 ，化算为相对中误差为 ：,所以，对现有测量方法这个误差可忽略不计，完全可以认为大地线的平面投影曲线长度s等于其弦线长

14、度D。,2、长度比和长度变形,长度比m是指椭球面上某一点的微分元素dS，与其投影面上的相应的微分元素ds之比，即：,由于长度比m恒大于1，故称 为长度变形。,1）用大地坐标表示的长度比公式,实用时一般取至二次项 在6带的边缘及低纬度处，有时用到 项。,2）用平面坐标表示的长度比公式,代入,m随点的位置(B,L)或(x,y)而异，但在一点上与方向无关；,当 时，由于m是y（或l）的偶函数，且各项都为“+”号，故m恒大于1，即除中央子午线外其它投影后都变长了；,长度变形（m-1）与 成正比例地增大，愈离远中央子午线长度变形愈大。,在同一纬线上，即B=常数，长度变形（m-1）随l的增大而 增大。,在

15、同一经线上，即l=常数，长度变形（m-1）随B的减少而增 大，在赤道处(B=0)为最大。,当y=0 (或l=0)时，即在纵坐标轴或中央子午线上时，各点的m都等于1，即中央子午线投影后长度不变；,3、距离改化公式：,对于一条三角边来说，由于边长较短，长度比的变化实际上是很微小的，可以认为是一个常数，因而可以用D/S来代替dD/dS，即有：,代入,当S70km,ym350km(6带的边缘) 计算精度小于0.001m，对于一等边长的归算完全可满足要求，对于二等边长的归算可略去 项，对于三四等边长的归算又可再略去 项。,4、距离改化的实用计算公式,一等三角网的距离改正的实用公式：,二等三角网的距离改正的实用公式：,三等三角网以下的距离改正的实用公式：,产生换带的原因 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用 带、 带或任意带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了 带同 带（或 带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示：,8.7 高斯投影的邻带换算（了解）,需要进行坐标邻带换算的情况： 1、控制网跨越两个投影带； 2、在