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1、定积分的近似计算,问题背景和实验目的,定积分的近似计算,定积分计算的基本公式是牛顿莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。,本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。,矩形法,定积分的定义：,定积分的近似计算,矩形法,n 充分大，xi 充分小,定积分的近似：,左点法,右点法,中点法,点 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 ，右端点 和中点 。,步长,节点,右点法：
2、,中点法：,左点法：,左点法、右点法和中点法,解：,矩形法举例,a=0, b=1, n=100,例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。,左点法：,右点法：,中点法：,(i = 0,1,2,.,100),理论值：,左点法相对误差：,误差分析,矩形法举例,右点法相对误差：,中点法相对误差：,不同的方法有不同的计算精度,有没有更好的近似计算定积分的方法 ?,定积分几何意义,曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似,整个曲边梯形的面积：,梯形法,如果我们 n 等分区间 a,b，即令：,则,=,梯形公式,梯形法,梯形公式与中点公式有什么区别 ?,解
3、：,=,例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差,梯形法举例,a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ),相对误差：,2n 等分区间 a,b ，得,该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？,计算每个节点上的函数值：,抛物线法,在区间 x0, x2 上，用过以下三点,的抛物线来近似原函数 f (x) 。,设过以上三点的抛物线方程为：,则在区间 x0, x2 上，有,y = x2 + x + = p1(x),抛物线法,同理可得：,相加即得：,抛物线法,整理后可得：,或,辛卜生 (Simpson) 公式,抛物线法公式,抛物线法,=,例：用抛物线
4、法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差,解：,a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ),相对误差：,抛物线法,矩形法：cumsum,cumsum(x)x 若为向量， cumsum(x)返回一个向量，此向量的第n个元素为向量x的前n个元素的和； x 若为矩阵， cumsum(x)返回一个矩阵，此矩阵的列为对应的x列的累积和,Matlab 近似计算定积分的相关函数,Matlab 计算定积分函数介绍,cumsum(x，dim)dim决定求和的方向，dim=1，按列的方向求， dim=2，按行的方向求。, x=0 1 2;3 4 5； c
5、umsum(x) ans = 0 1 2 3 5 7 cumsum(x,1) ans = 0 1 2 3 5 7 cumsum(x,2) ans = 0 1 3 3 7 12,a=1 2 3 ； cumsum(a,1) ans = 1 2 3 cumsum(a,2) ans = 1 3 6 cumsum(a) ans = 1 3 6,梯形法：trapz,trapz(x,y)x 为分割点（节点）组成的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。,前面的做法,例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100,解：,a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2
6、), x=0:1/100:1; y=1./(1+x.2); trapz(x, y),trapz函数,trapz(x,1./(1+x.2),trapz 举例,quad(f,a,b,tol) f = f(x) 为被积函数，a,b 为积分区间，tol 为计算精度,将自变量看成是向量,抛物线法：quad,抛物线法,解：, quad(1./(1+x.2),0,1), quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10), quad(1./(1+x.2),0,1,10e-16),函数表达式一定要用 单引号 括起来！ 涉及的运算一定要用 数组运算！,例：用 quad 计算定积分：,quad 举例,fun.
7、m function f=fun(x) f=x./(4+x.2);,quad(fun，0，1）,quad(x./(4+x.2);,0,1),抛物线法计算二重积分： dblquad,dblquad(f,a,b,c,d,tol),tol 为计算精度，若不指定，则缺省精度为 10-6,f(x,y) 可以由 inline 定义，或通过一个函数句柄传递,a,b 是第一积分变量的积分区间，c,d 是第二积分变量 的积分区间,按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面,二重积分的计算, f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f,-1,1,0,2),f(x,y) 中关于第一自变量的运算是
8、数组运算， 即把 x 看成是向量，y 看成是标量。 也可以全部采用数组运算,例2：计算二重积分, dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2), dblquad(inline(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2),X,例1：计算二重积分,dblquad 举例,例：计算二重积分, dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1, 1, 0, 2),指定 x、y 分别是第一和第二积分变量, dblquad(inline(4*x*y+3*x.2) ,-1, 1, 0, 2),被积函数 f (x,y) 的另一种定义方法：匿名函数,dblquad 举例,in
9、t(f,a,b) 计算 f 关于默认自变量 的定积分，积分区间为a,b。,int(f) 计算 f 关于默认自变量 的不定积分。,int(f,v,a,b) 计算函数 f 关于自变量 v 的定积分，积分区间为 a, b,int(f,v) 计算函数 f 关于自变量 v 的不定积分,findsym(f,1),符号积分： int,int 符号积分, syms x y; f=y*sin(x); int(f,x) int(f,y) int(f) int(a+b),ans=-y*cos(x),ans=1/2*y2*sin(x),ans=-y*cos(x),ans=a*b+1/2*b2,例：指出下面各条语句的输
10、出结果,int 举例,例：用 int 函数计算定积分：,解：, syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1), f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1), int(1/(1+x2),x,0,1),或, int(1/(1+x2),0,1),或,或,int 举例,double(a) 将 a 转化为双精度型，若 a 是字符，则取对应的 ASCII 码, a=3; double(a) double(a),例：,ans = 3,ans = 97,其它相关函数, x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y),梯形法：,抛物线法：, quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10),符号积分法：, syms x int(exp(x(-2),x,1,2),例 1：用 Matlab 函数近似计算积分,数值实验,抛物线法：, dblquad(inline(x+y2),-1,1,0,2),符号积分法：, f=int(x+y2,y,-1,1); int(f,0,2),数值实验,例 2：用 Matlab 函数近似计算二重积分,
