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1、准备金评估的GLM,孟生旺 中国人民大学统计学院 ,1,GLM模型的结构,分布假设 线性预测项 连接函数,2,GLM模型的检验和比较,关于解释变量： 是否显著？方差分析，P值 是否分段？是否线性？平滑函数 是否存在交互效应？ 关于分布假设： 残差分析：QQ图，蠕虫图。 流量三角形的数据有限，分布假设的影响显著 关于连接函数？ 模型比较：AIC = - 2l + 2*参数个数,3,增量赔款的流量三角形格式（Taylor，1983）,5,增量赔款的数据框格式,6,描述性统计分析,7,8,9,10,第1个事故年的进展趋势比较特殊？,11,均值和方差,方差 = 122188299213 方差/均值 =
2、 195597,12,泊松分布拟合：图中泊松分布的概率被缩小为实际值的1%,13,14,伽马分布拟合,描述性分析的初步结论,增量赔款右偏，方差远远大于均值，伽马拟合较好 第1个事故年的进展模式与其它事故年不同,15,建模,分布假设： 泊松（链梯法） 伽马 解释变量： 事故年、进展年、日历年 形式：离散、连续 连接函数：对数,16,泊松回归,增量赔款 泊松分布 log(增量赔款) = 事故年 + 进展年,17,链梯法（使用累积赔款数据）,18,泊松回归的结果,注意：泊松回归的所有变量高度显著！准备金估计值等价于链梯法，为18,680,856,19,问题？,链梯法或泊松回归适用于这组数据吗？ 需要
3、进行模型的诊断和比较,20,21,应用glm函数的残差分析,泊松回归的随机分位残差：gamlss,22,泊松回归随机分位残差的QQ图：删除了无穷大的残差,23,结论,泊松回归（链梯法）不适用于这组数据 为什么所有变量是高度显著的？低估了标准误。 改用伽马回归,24,伽马回归的结果,25,回归系数的比较,26,标准误的比较（泊松回归系数为何高度显著？）,27,AIC的比较,28,伽马分布假设合适吗？,残差分析,29,伽马回归的残差（glm）,30,伽马回归的残差（gamlss）,31,残差分析：伽马回归的蠕虫图,32,初步结论,伽马回归优于泊松回归。 伽马回归的分布假设通过检验。,33,伽马回归
4、的偏残差,34,伽马回归能否进一步改进？,使用平滑函数： 优点：可以提高预测结果的准确性 缺点：增加解释困难,35,36,完美拟合：折现 完全平滑：回归直线,平滑函数的选择 拟合效果好 足够平滑 惩罚样条：,37,38,惩罚样条平滑,（0） log(增量赔款) = 事故年 + 进展年 （1） log(增量赔款) = f (事故年) + 进展年 （2） log(增量赔款) = 事故年 + f (进展年) （3） log(增量赔款) = f (事故年) + f (进展年) （4） log(增量赔款) = f (进展年),39,伽马回归模型,伽马回归模型的比较,40,41,如何比较AIC？,平滑的伽
5、马回归,42,43,log(增量赔款) = f (事故年) + 进展年,44,Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 12.66056 0.12721 99.525 2e-16 * ps(accyear) 0.03115 0.01726 1.805 0.07866 . factor(devyear)2 0.90950 0.12553 7.245 8.56e-09 * factor(devyear)3 0.94580 0.12977 7.288 7.46e-09 * factor(devyear)4 0.99566 0.13648 7.29
6、5 7.31e-09 * factor(devyear)5 0.41717 0.14462 2.884 0.00629 * factor(devyear)6 0.10278 0.15602 0.659 0.51382 factor(devyear)7 -0.03561 0.16886 -0.211 0.83405 factor(devyear)8 -0.42402 0.18812 -2.254 0.02974 * factor(devyear)9 -0.02517 0.22113 -0.114 0.90993 factor(devyear)10 -1.46389 0.29581 -4.949
7、1.39e-05 *,45,log(增量赔款) = f (事故年) + f (进展年),Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 13.48927 0.14075 95.836 2e-16 * ps(accyear) 0.03056 0.01946 1.570 0.123 ps(devyear) -0.10028 0.01946 -5.152 5.54e-06 *,log(增量赔款) = f (进展年),Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 13.66911 0.08497 160.
8、861 2e-16 * ps(devyear) -0.11292 0.01812 -6.233 1.02e-07 *,准备金预测结果的比较,46,问题：log(增量赔款) = f (进展年) 的预测值偏小？第一事故年的影响？,47,模型比较：剔除第一个事故年的影响,48,49,Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 12.795873 0.120328 106.341 2e-16 * factor(accyear)3 -0.024200 0.117730 -0.206 0.83868 factor(accyear)4 -0.095001
9、0.124369 -0.764 0.45157 factor(accyear)5 0.010918 0.131563 0.083 0.93447 factor(accyear)6 0.007032 0.139737 0.050 0.96024 factor(accyear)7 0.070466 0.150453 0.468 0.64329 factor(accyear)8 0.192970 0.167723 1.151 0.26001 factor(accyear)9 0.057973 0.196047 0.296 0.76971 factor(accyear)10 -0.047436 0.2
10、63378 -0.180 0.85841 factor(devyear)2 0.933724 0.117503 7.946 1.53e-08 * factor(devyear)3 0.991178 0.123542 8.023 1.27e-08 * factor(devyear)4 1.098794 0.130292 8.433 4.80e-09 * factor(devyear)5 0.408927 0.139139 2.939 0.00667 * factor(devyear)6 -0.085715 0.150602 -0.569 0.57396 factor(devyear)7 0.15
11、4276 0.168341 0.916 0.36754 factor(devyear)8 -0.265108 0.196580 -1.349 0.18867 factor(devyear)9 0.164079 0.263378 0.623 0.53852,剔除第一事故年的影响：log(增量赔款) = 事故年 + 进展年,准备金预测值：剔除第一事故年的影响,50,注：基于全部数据的链梯法 = 18,680,856,两个最优模型的比较,51,52,Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 12.8163 0.0810 158.221 2e-16
12、 * factor(devyear)2 0.9374 0.1181 7.938 2.45e-09 * factor(devyear)3 1.0064 0.1225 8.218 1.10e-09 * factor(devyear)4 1.0638 0.1281 8.306 8.60e-10 * factor(devyear)5 0.3755 0.1355 2.771 0.0089 * factor(devyear)6 -0.1320 0.1460 -0.904 0.3723 factor(devyear)7 0.1077 0.1620 0.665 0.5106 factor(devyear)8
13、-0.2980 0.1900 -1.569 0.1257 factor(devyear)9 0.1436 0.2561 0.561 0.5785,log(增量赔款) = 事故年,log(增量赔款) = f (事故年),Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) 13.54859 0.07867 172.226 2e-16 * ps(devyear) -0.06337 0.01837 -3.449 0.00136 *,小结,重视描述性分析 用泊松回归检验链梯法的合理性 如何改进链梯法的结果? 伽马回归 使用惩罚样条平滑函数 对离散参数建模 模型的评价和比较 残差分析（分布假设） AIC（模型比较）,53,谢 谢 ！,54,
