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1、1,2011年黄河水院数学建模竞赛,水质评价问题,2,水质评价问题,摘 要 本文利用逼近理想的排序法和模糊数学模式评价法对河南省商丘地区的四口水井的水质情况做出了综合评价。模型中用到了“动态加权”，通过构造“S”型函数，对水质的类别进行量化。这样就可以把水质类别的差异较好的表现出来。由于水质评价中包含一些不明确的方面，因此模糊数学在水质综合评价中得到广泛应用，另外借助于稳态条件的一维水质模型和质量守恒定律得到了主要污染指标的分布区域。应用模糊数学综合评价法根据商丘市某村四口水井水质评价的特点，选取溶解氧、化学需氧量、总磷和氨氮作为评价因子，建立模糊关系矩阵，根据模糊数学最大隶属度原则评定水质的
2、等级。 关键词：水质、综合评价、模糊数学、评价因子、隶属函数,3,一、 问题重述 河南省商丘地区某村内有各相距500米以上的四口水井，分别位于村东、村西、村南和村北，由于农业和生活排放废物使地下浅表水遇到污染，水质监测资料如表1所示.,4,5,6,请你们完成以下问题： （1）请用2种以上的数学方法对该村的四个井水的水质进行排序，并比较是否由于方法的不同导致存在着异，以及差异产生的原因。 （2）请对该村的四个井的地表水分别进行水质等级判断。（水质分级标准参考附录一，或自己查有关资料） （3）请结合你们的计算结果给该村村民写一篇关于健康用水和保护水源方法的短文。,7,二 问题的分析,8,2.1对问
3、题（1）分析,考虑到水质类别差异对综合评价指标权值的影响，构造“S型的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行“动态加权”，然后建立基于逼近理想点排序法的评价模型，得到了四口水井水质的综合评价值及排序，用“逼近理想的排序模型”即TOPSIS法，其过程为：对评价对象的各水质指标均找出最优值，设成理想解，对评价对象的各水质指标均找出最劣值，设为负理想解，分别计算每一个评价对象到理想解和负理想解的距离，从得到水质的排序。 这里重要问题是如何确立各项水质指标的权重，因为、类为可饮用水，、类、劣类为污染和严重污染，为不可饮用水。对于商丘地区某村内的四口水井水质监测值的最终指标的确定由首要污染物决定
4、，所以权重的确定要体现两个特点：,9,（1）水质的差异，特别从类水质变为类水质时，水质发生很大的变化； （2）体现首要污染物的作用，即污染物的评价类别越高，其权值相应越大。所以，权值是在变化的，并要表现出前三类和后三类水的水质差异，于是想到构造一个“S”型曲线作为变权函数，对属于不同的类别的同种污染指标进行赋权。,10,2.2对问题（2）分析,模糊数学综合评判过程一般归纳为下几个步骤： （1）找出因素集； （2）给出评价矩阵； （3）确定评估函数； （4）计算评判指标,11,2.3建立因子集,因子集市由影响评估对象的各个因子所组成的集合，可表示为： U= 其中，元素ui(i=1、2n)为影响评
5、价要考虑的因子，一般来说，各个因子在评估中有不同的重要性，因此必须对各个因子ui按其重要程度给不同的权重ai（i= 1、2n）由各权重组成的因子权重集A是因子集，u可用模糊向量表 A=( ),且 =1， 0，i=1、2n 其中原素 是因子 对A的隶属度，即反映了各个因子在综合评估中所具有的重要程度。,12,2.4 建立评价集,评价集是有评估对象作出评估结果所称的集合，可表示为： V= 式中 (j=1、2n).模糊的，但对V的关系是明确的。,13,2.5 模糊评估,从一个 出发进行评价，以确定评价对象对评价集 的隶属程度 (j=1,2n)因子 评价结果 因子 模糊评价集。 = 将各单因子评价集作
6、为行，组成单因子矩阵 有了评价矩阵R和权重矩阵A，进行复合运算，就能反映所有因子评价对象的影响，进行评判。模糊子集记作： B=AR（b1，b2, bn），bi表示对评估的等级。,14,三、模型的假设和符号说明,15,3.1 模型的假设,1）问题中所给出的数据能客观的反映现实情况； (2)这段时间内没有大量降水；,16,3.2符号说明,表示第i个评价对象（观测站）的第j（i=1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24）个指标的观测值； R表示有 构成的原始评判矩阵； 表示极性一致化矩阵； W表示污染指标的权重矩阵；
7、 X表示规范矩阵； Z表示加权规范化矩阵； 表示第i(i=1、2、3、4）个被评价对象的综合评价值; H表示评价值矩阵；,17,指标的实测浓度,i指标经诡异化后的权重,i制表格计税标准浓度的平均值 n指标个数 m水质分级级数 K表示指进水中污染物扩散系数,_i指标的权系数,18,四 模型的准备,19,维水质模型,依据相关资料，流体中的一维水质模型的一般形式为 其中C为流体中染污物的浓度分布， 为水流速度， 为扩散系数，K为流体的降解系数，在稳态的条件下，即 =0，则上面的方程变为,20,如果给定初始条件为 = 时，则方程的解为,21,五. 模型的建立与求解,22,5.1 六种指标权重的建立,（
8、1）构造变权函数。根据污染物对水质的污染程度分为、 、 、 、劣 类六个等级，不妨对应的数值分别为1、2、3、4、5、6 由问题的分析可知，当水质的类别从类变化到类时，其权值变化应该非常大，这体现出水质将发生质的变化，而且水质越差，相应的权值也会也来越大。 根据以上讨论，我们构造的“S”型曲线作为相应的变权函数，即 其中、为待定的常数。,23,当x=1时，即水质最好时令相应的量化值 =0.05； 为了说明、与、劣类水之间的相对差异变化较小的事实,令 =0.25；当x=6时，其值为1，此时污染最为严重。由以上的三个对应点，则可以求得=0.35. =3.48 =0.52 最后得到 f（x） 的具体
9、表达式 最后计算得到污染指标的 劣类的水对应的分类下界量化值分别为0.05、0.12、0.25、0.8、0.92、,24,(2)求权重矩阵 以某次的水质检测具体情况为例，将四个观测点的24个监测指标的浓度提取出来，构造出原始评判矩阵 ；再将元素 的值变换成污染类别，把类别对应的数值代入变权函数就得到量化矩阵；对量化矩阵中每一行的指标做到归一化处理得到权重矩阵w.,25,注意到一个事实，由于ph值（7-9）难以确定出具体的水质类别，而且依据数据分析可知，ph值对水质类别的影响很小，所以在此问题中对ph值的影响采用固定的权值，不妨设为0.05，而其他23项指标采用上述的动态赋值，其总权值为0.95
10、.,26,5.2基于TOPSIS方法的评价模型,首先根据对商丘某村四口井的水质情况给出量化评价 （1）模型的建立 TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序法。其基本思想是把综合评价问题转化为求各种评价对象之间的差异“距离”，即按照一定的法则先确定理想解与负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和被理想解之间的距离，再加以比较得出其排序。,27,步骤1.评价指标的极性处理，得到极性一致化矩阵R*. 溶解氧的指标是极大型（指标越大，水质越好）ph值的指标是居中型的（指标值处于中间水质较理想，其他22种是极小型的（指标越小，水质越好）。下面统一对24项评价指标进行极小型处理。,28,1.对极大型
11、指标溶解氧的指标值做极小变换，即令倒数变换,2 .对于居中型的指标ph值的指标值作极小化变换，即令,最后，综合24项指标得到评价指标的极刑一致化矩阵R*,29,步骤2.评价指标的规范化处理 通过极差变换得到规范化矩阵 其中 是无量纲的量，且 ，i=1，2，3，4；j=1，2，3.,30,步骤3.构建加权规范决策矩阵z,依据上一节所得到的权重矩阵w，令 = I=1,2,3,4; j=1,224,31,步骤4.确定正理想解 及负理想解,设正理想解 的j个属性值为 ，负理想解 的第j个属性值为 ，则正理想解为： 负理想解为,32,步骤5.计算距离,被评价对象到正理想解的欧式距离为,33,被评价对象到
12、负理想解的距离为 (i=1,2,3,4),34,步骤6.求综合评价值,被评价对象的综合评价指标值为 i=1,2,3,4 此时，各项污染指标越大，被评价对象的状态越接近负理想解，从而得到的综合评价值越大，其水质污染的程度就越严重。反之则越接近正理想解，综合评价值越小，其水质污染的程度就越轻。,35,（2）评价模型的求解，依据题目附件表1中的数据，利用MATLAB编程求出4个观测点水质的综合评价指标值，并进行比较得到水质排序。,36,某时刻个观测点的综合评价指标值,37,某时刻个观测点水质情况的排序,38,六、 数学模型,39,6.1 评估因子的选定,考虑水质有等级标准，利用水质评价和污染评价两个
13、方面。评估因子的确定要根据国家地表水环境质量标准（GB 38382002），结合评价四口水井的实际情况以及监测条件。以污染物评价的总体原则是选择最差的七项为优先污染物。必评四项是：氨氮、总磷、溶解氧、化学需氧量等作为主要因子，采用单向评价和综合评价相结合，评价标准见地下水质量标准（GB/T1484893），计算出七项污染物指数的算术平均值作为一般污染物指数；对人体健康危害明显和存在长期危害，而目前饮用水处理工艺难以去除的有毒类，归纳为有毒污染物，挥发性酚类、重金属类中各类至少选择一项，其指数评价采用单因子法，即对最差的项目赋全权。本文选取了商丘地区某村的村东、西 、南、北四口井水2009年10
14、月15日的水质监测数据。,40,6.2建立平价素,地表水质量评价等级确定采用中华人民共和国地表水的环境质量标准（GB3838_2002)分成五个模糊等级如下：（类、类、类、类、 类）,41,表1 2009年10月15日商丘某村井水水质监测数据 。 单位mg/l,42,表二 地表水环境质量标准基本项目标准限值 单位：mg/L,43,6.3权重行矩阵A的确定,在综合评价中，考虑到各单项指标高低差别，在总体污染中的作用大小是不一样的，不仅与实测数据大小有关，而且与某种用途水中各元素的允许浓度有关，实测数据相同时其允许浓度含量比标准低的，对污染程度影响要小，因此进行权重计算很有必要。计算公式如下：,4
15、4,=,=,=,45,由上述指标组成一个权重行矩阵A:A【，】，以商丘某村的南井水为例：对样本水质进行指标权重计算，得出表3.即商丘某村的南井权重行矩阵A=【0.192、0.196、0.234、0.003】同理可以求出另三个监测水井的权重矩阵。,46,表3 商丘市某村的南京水质名单向指标权重,47,由于DO与其他因素性质相反，实测DO浓度大。说明水质污染不严重，水质好。所以DO的权重赋值取倒数.,48,6.4计算隶属度，建立模糊关系矩阵。,水质污染程度是一个模糊的概念，水质的分级标准也是模糊的，用隶属度来划分级界限 较为合理。 同理可以求出另三个监测的水质各项指标的隶属程度及模糊矩阵评价。,49,6.5模糊综合评价,（1）取大取小法 利用取大取小法复合运算时，矩阵A的元素分别与矩阵R的各列中对应的元素（类似于普通矩阵乘法）按上述结果进行归一处理。 按“以隶属择近原则”进行分类。南井水质对三类水的隶属度最大。所以此井水为三类水等级。,50,（2）取大取积法 取大取积法是把取大取小法中取最小值 改为乘积，然后取极大值。它能有效解决评价结果中最大值有三个相同的情况。按照取大取积法求解得出最终隶属 矩阵。 B=【0.092、0.257、0.564、0.870】=1 可见
