第二章Z变换课件

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1、第二章变换,信号与系统的分析方法有时域分析法和变换域分析法。 连续时间系统中，其变换域方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换； 离散时间系统中，其变换域方法是Z变换和离散傅立叶变换。对求解离散时间系统而言，Z变换是个极重要的数学工具，它可以将描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。,变换的定义与收敛域 反变换 变换的基本性质和定理 序列的变换与连续信号的拉普拉斯 变换、傅立叶变换的关系 离散系统的系统函数、系统的频率响 应,变换的定义与收敛域,变换的定义 对于一个序列x(n)，它的Z变换定义为 其中Z为一个复变量，上式定义的Z变换称为双边Z变换或标准Z变换，,变换的收敛域,由于x

2、(n)的Z变换是一个无穷级数，就必然存在收敛和发散的问题，仅当级数收敛时才可将X(z)表示成一个闭合形式，按照级数理论，级数收敛的充要条件是满足绝对可和的条件，即 使上式成立的所有Z值的集合称为X(z)的收敛域，不同形式的序列，其收敛域不同,、有限长序列 其变换为 因为x(n)是有界序列，由于是有限项求和，显然在0|z|上都满足收敛条件，收敛域至少是有限Z平面(0，)，在n1和n2的特殊取值情况下，收敛域可扩大为,Rez,例：矩形序列是一个有限长序列，x(n)=R(n)，求其X(z)。 解： 收敛域为。 从上式的分母可知在z=1处有一个极点，但是从分子处看出z=1处有一个零点，零极点刚好对消。

3、,、右边序列 右边序列只有在nn1时，序列值不全为零，其它n值时，序列值全为零，即 其变换为 若RX-是收敛域的最小半径， 则右边序列变换的收敛域 为,有限长序列，其收敛域为有限Z平面,是Z的负幂级数，其收敛域为RX-|Z|,当n1 =0时的右边序列称为因果序列，其收敛域为 因此在|z|=处Z变换收敛是因果序列的特征。 例：求指数序列的变换。 解：,、左边序列 左边序列只有在n n时，序列值有值，n n时，序列值全为零，即 其变换为 左边序列变换的收敛域 为 当n时，收敛域不包括z=0，即； 当n时，收敛域包括z=0，即。,有限长序列，其收敛域为有限Z平面,是Z的正幂级数，其收敛域为|Z| R

4、X,例：求序列的变换 解： 如果a=b，则此例与上例中右边序列的Z变换表达式完全一样，所以只给出Z变换的闭合表达式是不够的，不能正确得到原序列，必须同时给出收敛域范围，才能惟一确定一个序列，这就说明了研究收敛域的重要性。,、双边序列 一个双边序列可以看做一个左边序列和一个右边序列之和，因此双边序列Z变换的收敛域就应该是这两个序列Z变换的公共收敛区间。 其变换为 若满足RX RX， 则双边序列变换的收敛域为,右边序列，其收敛域为|Z| RX,左边序列，其收敛域为|Z| RX,例：求序列的变换，其中。 解： 第一部分的收敛域为，即；第二部分的收敛域为， 即。 已知， 所以,反变换,求反变换的方法通

5、常有： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法、长除法 、部分分式法 一般X(z)是z的有理分式，可表示X(z)=B(z)/A(z)，B(z)和A(z)都是变量z的实系数多项式，且没有公因式，可以把X(z)分解为部分分式的形式，然后求出各部分分式的z反变换（基本变换对的公式可查表),将各反变换相加即得到x(n)。,如果X(z)只有一阶极点，则X(z)展成 最好写成 A0、Am分别为X(z)在z=0、z=zm处极点的留数，即 如果X(z)中含有高阶极点， 设X(z)含有k个一阶极点，一个s阶极点zi，则X(z)展成 其中Br用下式确定,例：设 试利用部分分式法求Z反变换。,由已知的收敛域知道是因果

6、序列,、长除法 x(n)的z变换定义为z-1的幂级数，即 因此只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。一般情况下，X(z)是一个有理分式，分子分母都是z的多项式，则可直接用分子多项式除以分母多项式，得到幂级数展开式，从而得到x(n)。 如果用收敛域判定x(n)是右边序列，则展开成负幂级数，为此X(z)的分子分母按z的降幂（或z-1的升幂）排列； 如果是左边序列，则展开成正幂级数，为此X(z)的分子分母按z的升幂（或z-1的降幂）排列。,例：用两种方法求的反变换 解：部分分式法：,长除法 由收敛域知x(n)是右边序列，所以X(z)按z的降幂排列 因此得出,变换的性

7、质和定理,、线性 线性就是要满足比例性和可加性，若 则 其中，即线性组合后的收敛域为各个序列z变换的公共收敛域，如果这些组合中某些零点和极点相互抵消，则收敛域可能扩大。,例：已知x(n)=cos(0n)u(n)，求它的z变换。 解：,例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。,、序列的移位 若序列x(n)的z变换为 则有 其中m为任意整数，m为正，则为延迟，m为负则为超前。 证： 对双边序列，移位后收敛域不会发生变化；但是单边序列在z=0或z=处收敛域可能有变化 例如，Z(n)=1=1，在z平面处处收敛，但是Z(n-1)=z-1，在z=0处不收敛，而Z(n+1)=z，在z=处不收敛。

8、,、乘以指数序列（域的尺度变换） 若 则 收敛域为，可是复数。 此性质表明X(z)如果在z=z1处为极点，则X(a-1z)将在a-1z=z1 ，即z=az1处为极点。如果a为正实数，则表示z平面缩小或扩大，零极点在z平面沿径向移动；若a为复数，则在z平面上，零极点既有幅度伸缩，又有角度旋转，因此此性质是一种z域尺度变换。,、序列的线性加权 若序列x(n)的z变换为 则 证明：由于z变换在其收敛域中处处解析 所以 通过递推可以证明： 式中,、共轭序列 若 则 、翻摺序列 若 则 证：,、初值定理 如果x(n)是因果序列，则有 证明：因为x(n)是因果序列，有 所以 、终值定理 如果x(n)是因果

9、序列，且其z变换的极点除在z=1处可以有一阶极点，其它极点均在单位圆内，则有,证明： x(n)是因果序列，则 因为在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限，有,、有限项累加特性 设x(n)为因果序列，即x(n)=0,n0,若 则,、序列的卷积和（时域卷积和定理） 若 则 证明：,例：已知x(n)=anu(n)，h(n)=bnu(-n),|a|b|，求y(n)=x(n)*h(n)。 解： 由时域卷积定理，得到 因为Y(z)的收敛域为环形区域，故y(n)是双边序列，,、序列相乘（域复卷积定理） 若 则 其中C是哑变量v平面上，的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单闭合围线。 、帕塞瓦定理 若

10、则 其中C是在公共收敛域内的一条闭合围线。,例：已知x(n)=anu(n),h(n)=(n)-a(n-1) 求y(n). 解： 由于零极点对消，收敛域变成了整个Z平面。 因此由公式进行反变换，得到 y(n)= (n),例：求x(n)=nanu(-n)的Z变换。,例：用Z变换的性质求下列两个序列的卷积： 解：,例：计算两个序列x(n)=3nu(-n),h(n)=0.5nu(n)的卷积y(n). 解：,变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系,变换与拉普拉斯变换的关系 、平面与平面 设连续信号为，其抽样信号为,它们的拉普拉斯变换分别为 ,应用理想抽样表达式，有 而抽样序列的z 变换为 比较上

11、面两式，当时，抽样序列的z变换就等于抽样信号的拉普拉斯变换，即 即由s平面到z平面的映射关系为,将s平面用直角坐标表示为： 将z平面用极坐标表示为： 因此 结论：1）r与的关系， =0(s平面的虚轴)对应于r=1(z平面的单位圆上)； 0(s平面的右半平面)对应于r1(z平面的单位圆外部)。 2）和的关系， =0(s平面实轴)对应于=0(z平面正实轴)； =0(常数)(s平面平行于实轴的直线)对应于=0T(z平面始于原点，幅角为=0T的辐射线)。,注意:s平面与z平面的映射关系不是单值映射，每增加一个抽样角频率 ，则相应增加一个2，即重复旋转一周，z平面重叠一次。 、与的关系 由时域抽样定理有

12、 因此,傅立叶变换是拉普拉斯变换在s平面虚轴上的特例，即s=j，因此有 抽样序列在单位圆上的z变换等于其抽样信号的傅立叶变换。 数字频率表示z平面的幅角，和模拟频率的关系为。 用数字频率作为z平面上单位圆的参数，即， 可得 因而单位圆上的z变换就是序列的傅立叶变换。,z变换与傅立叶变换的关系,离散系统的系统函数，系统的频率响应,系统函数的定义 一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h(n)来表示其输入输出关系，即 对等式两边取变换得 则 将H(z)定义为线性移不变系统的系统函数，是单位抽样响应h(n)的z变换，即,因果稳定系统,因果系统的单位抽样响应为因果序列，其收敛域为 一个线性移不变

13、系统稳定的充要条件是h(n)必须满足绝对 可和条件，即 而z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，所 以如果系统函数的收敛域包含单位圆|z|=1，则系统是稳定的。 因此，一个因果稳定的线性移不变系统的系统函数H(z)必 须在从单位圆到的整个z域内收敛，即 也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。,系统函数和差分方程的关系,一个线性移不变系统可以用差分方程来描述，其一般形式为 若系统的起始状态为零，直接对上式取z变换（利用移位特性），得,将两个多项式分别进行因式分解，得 z=cm是H(z)的零点，z=dk是H(z)的极点，是由差分方程的系数ak和bk决定，除了比例常数K，系统函数完全由它的零点和

14、极点来确定。 要根据H(z)唯一确定h(n)，必须同时确定系统的收敛域。例如对于稳定系统，其收敛域必须包含单位圆。,例：已知一线性移不变的因果系统差分方程为， 求系统的单位抽样响应h(n)，该系统是否稳定？ 解： 由题意知，系统是因果系统，因此h(n)为因果序列，H(z)的收敛域为圆外部区域， 即 所以 因为系统是因果的，收敛域为，不包含单位圆|z|=1，因此系统是不稳定的。,系统的频率响应,设系统的输入序列是频率为的复指数序列，即 线性移不变系统的单位抽样响应为h(n)，利用卷积 和，得到输出为 其中 是h(n)的傅立叶变换，称为系统的频率响应， 描述的是复指数序列经过线性移不变系统后，复振

15、幅 （包括幅度和相位）的变化。 系统的频率响应正是系统函数H(z)在单位圆上的值， 即,当系统输入为正弦序列时，则输出为同频的正弦序列，其幅度受频率响应幅度加权，而输出的相位为输入相位与系统相位之和 证：设输入为 则输出为 由于h(n)是实序列，因此满足共轭对称条件，也就是幅度为偶对称，相角为奇对称，即,例：设一阶系统的差分方程为 求系统的频率响应 解：将差分方程等式两端变换，得： 这是因果系统，求出单位抽样响应为 则 幅度响应为 相位响应为 系统的极点在单位圆内，因此系统稳定,|H(ej)|,1/1-a,1/1+a,0a1,0,/2,3/2,2,-1a0,例：已知x(n)=sinn，h(n)=anu(n),|a|1, 求：y(n)=x(n)*h(n). 解：,例：已知一个差分方程 1、求系统函数H(Z)； 2、零、极点分布图，可能存在的几种收敛域； 3、若系统稳定且因果，求相应的h(n); 解：1、,2、 零点：c1=0, c2=-1/3 极点： d1=1/4, d2=1/2 可能存在的几种收敛域：,3、若已知系统稳定且因果，则收敛域包含有单位 圆,因此收敛域为|z|1/2,h(n)应为右边序列。,IIR与FIR,IIR:从离散时域来看,若系统的单位抽样(冲激)响应h(n)延