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1、选修45不等式选讲,-2-,知识梳理,考点自诊,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|,当且仅当时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|,当且仅当 时,等号成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,-3-,知识梳理,考点自诊,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c; |ax+b|c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0
2、)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.,-cax+bC,ax+bc或ax+b-c,-4-,知识梳理,考点自诊,3.基本不等式,2ab,-5-,知识梳理,考点自诊,4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立. 5.不等式证明的方法 证明不等式常用的方法有比较法、
3、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.,-6-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)对|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.() (2)|a+b|+|a-b|2a|.() (3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.() (4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”. () (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.(),-7-,知识梳理,考点自诊,2.若|a-c|c-b C.|a|b|-|c| D.|a|b|+|c|,D,解析:|a|-|c
4、|a-c|b|,即|a|b|+|c|,故选D.,-8-,知识梳理,考点自诊,A.(2,3)B.(1,2) C.(1,3)D.(1,4),C,-9-,知识梳理,考点自诊,5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是.,-2,4,解析:|x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|3有解,可使|a-1|3, -3a-13,-2a4.,第1课时绝对值不等式,-11-,考点1,考点2,考点3,绝对值不等式的解法 例1(2019山东德州期末,23)已知函数f(x)=|ax-1|. (1)若不等式f(x)5的解集为(-2,3),求a的值; (
5、2)当a=1时,求f(2x)-f(x)2的解集.,-12-,考点1,考点2,考点3,(2)f(2x)-f(x)=|2x-1|-|x-1|. 当x1时,原不等式化为x2, 所以,不等式的解集为(-,-22,+).,-13-,考点1,考点2,考点3,解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法 解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想; 解法3:通过构造函数,利用函数的图象求解,体
6、现了函数与方程的思想.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(2019全国2,23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)0的解集; (2)若x(-,1)时,f(x)0,求a的取值范围.,解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x1时,f(x)=-2(x-1)20; 当x1时,f(x)0. 所以,不等式f(x)0的解集为(-,1). (2)因为f(a)=0,所以a1. 当a1,x(-,1)时, f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)0. 所以,a的取值范围是1,+).,-15-
7、,考点1,考点2,考点3,求参数范围(多考向) 考向1分离参数法求参数范围 例2(2017全国3,23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2019河南许昌、洛阳三模,23)已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a, (1)当a=-1时,求不等式f(x)g(x)的解集
8、; (2)若存在x0R使得f(x0)g(x0)成立,求a的取值范围.,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,考向2利用函数最值求参数范围 例3(2019湖南六校联考,23)已知函数f(x)=|x-2a|-|x-a|,aR. (1)若f(1)1,求a的取值范围; (2)若a0,对x,y(-,a,都有不等式f(x)|y+2 020|+|y-a|恒成立,求a的取值范围.,-21-,考点1,考点2,考点3,解:(1)f(1)=|1-2a|-|1-a|1. 若a1,则2a-1+1-a1,得a1, 综上,a的取值范围是(-,-1)(1,+). (2)由题意知,要使得不等式恒成
9、立,只需f(x)max|y+2 020|+|y-a|min. 当x(-,a时,|x-2a|-|x-a|-a,f(x)max=-a,因为|y+2 020|+|y-a|a+2 020|,所以当(y+2 020)(y-a)0时,|y+2 020|+|y-a|min=|a+2 020|,即-a|a+2 020|,解得a-1 010,结合a0,所以a的取值范围是-1 010,0).,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)
10、a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(2019湖北1月联考,23)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-2|. (1)画出函数f(x)的图象; (2)若关于x的不等式x+2m+1f(x)有解,求实数m的取值范围.,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,-26-,考点1,考点2,考点3,考向3恒等转化法求参数范围 例4(2019福建漳州质检二,23)已知f(x)=|x+a|(aR). (1)若f(x)|2x-1|的解集为0,2,求a的值
11、; (2)若对任意xR,不等式f(x)+|x-a|3a-2恒成立,求实数a的取值范围.,-27-,考点1,考点2,考点3,-28-,考点1,考点2,考点3,解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.,-29-,考点1,考点2,考点3,对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,-30-,考点1,考点2,考点3,求函数或代数式的最值(多考向) 考向1利用基本不等式求最值 (1)求a3+b
12、3的最小值; (2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.,-31-,考点1,考点2,考点3,-32-,考点1,考点2,考点3,对点训练5(2019河北唐山三模,23)实数a,b,c满足a2+b2+c2=3,实数x,y满足x2+2y2=1. (1)求|a+b+c|的最大值; (2)判断:ax+(b+c)y=2能否成立?并说明理由.,-33-,考点1,考点2,考点3,解:(1)a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca, 2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca3(a2+b2+c2)=9. |a+b+c|3,当
13、且仅当a=b=c=1或a=b=c=-1时,取等号. 故|a+b+c|的最大值为3. (2)不能成立.理由如下, 由柯西不等式,得(ax+by+cy)2(a2+b2+c2)(x2+y2+y2)=3, 故ax+(b+c)y=2不能成立.,-34-,考点1,考点2,考点3,考向2利用绝对值三角不等式求最值 (1)当a=1时,解不等式f(x)4; (2)求函数g(x)=f(x)+f(-x)的最小值.,-35-,考点1,考点2,考点3,-36-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得
14、到常数.,-37-,考点1,考点2,考点3,对点训练6(2019江西新余期末改编,23)已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|. (1)求f(x)+|x-1|+|2x-3|的最小值; (2)若不等式|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m的取值范围.,解:(1)f(x)+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|2x+1-(2x-3)|=4,当- x 时等号成立,所以f(x)+|x-1|+|2x-3|的最小值为4. (2)不等式|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|有解,|m-1|f(x)+|x-1|+|
15、2x-3|min. |m-1|4,m-1-4或m-14,即m-3或m5,实数m的取值范围是(-,-35,+).,-38-,考点1,考点2,考点3,考向3利用放缩法求最值 例7(2019全国3,23)设x,y,zR,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3或a-1.,-39-,考点1,考点2,考点3,-40-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.
16、,-41-,考点1,考点2,考点3,对点训练7(2019河北武邑中学调研二,23)已知实数m,n满足2m-n=3. (1)若|m|+|n+3|9,求实数m的取值范围;,-42-,考点1,考点2,考点3,1.绝对值不等式的解法主要利用“零点分段法”求解,有时也利用作出函数图象通过观察得出不等式的解集. 2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法 (1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题. (2)数形结合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立问题时,若能作出两个函数的图象,通过图象的位置关系可直观解决问题. 3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.,-43-,考点1,考点2,考点3,在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.,
