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1、第二篇 材料力学,工程力学(静力学与材料力学),压杆的稳定性分析与稳定性设计,第二篇 材料力学,工程力学 ( 静力学与材料力学),第11章,返回总目录,与刚体平衡类似，弹性体平衡也存在稳定与不稳定问题。,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效(failure by lost stability)，又称为屈曲失效(failure by buckling)。,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,桁架中的压杆,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,第11章 压杆的稳
2、定性分析与稳定性设计,火箭发射架中的压杆,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,高压输电线路保持相间距离的受压构件,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,压杆稳定性实验,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,工程构件稳定性实验,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,脚手架中的压杆,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,“ Such failures can be catastrophic and lead to a large loss of life as well as major economic loss”.,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,什么是受压杆件的稳定性，什
3、么是屈曲失效，按照什么准则进行设计，才能保证压杆安全可靠地工作，这是工程常规设计的重要任务之一。,本章首先介绍关于弹性体平衡构形稳定性的基本概念，包括：平衡构形、平衡构形的分叉、分叉点、屈曲以及弹性平衡稳定性的静力学判别准则。,然后根据微弯的屈曲平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程以及端部约束条件，确定不同刚性支承条件下弹性压杆的临界力。,最后，本章还将介绍工程中常用的压杆稳定设计方法安全因数法。,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计, 压杆稳定的基本概念, 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响, 压杆稳定性设计的安全因数法, 结论与讨论, 临界应力与临界应力总图, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉
4、公式,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计, 压杆稳定的基本概念,返回首页,返回总目录,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计, 压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉, 判别弹性平衡稳定性的静力学准则, 压杆稳定的基本概念, 细长压杆临界点平衡的稳定性,杆件在压缩载荷作用或其他载荷作用下，在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡构型或平衡状态 。, 压杆的平衡构形、平衡路径及其分叉, 压杆稳定的基本概念,平衡构形压杆的两种平衡构形 (equilibrium configuration), 压杆稳定的基本概念, 压杆稳定的基本概念,平衡路径：不同压缩载荷下的FP曲线,平衡路径的分叉点： 平衡路径开始出
5、现分叉 的那一点。,分叉载荷（临界载荷）：分叉点对应的载荷，用FPcr 表示。, 压杆稳定的基本概念,细长直杆判别弹性平衡稳定性的静力学准则（statical criterion for elastic stability）, 压杆稳定的基本概念,细长直杆判别弹性平衡稳定性的静力学准则（statical criterion for elastic stability）, 压杆稳定的基本概念,当压缩载荷大于一定的数值时，在任意微小的外界扰动下，压杆都要由直线的平衡构形转变为弯曲的平衡构形，这一过程称为屈曲（buckling）或失稳（lost stability）。对于细长压杆，由于屈曲过程中出现
6、平衡路径的分叉，所以又称为分叉屈曲（bifurcation buckling）。, 压杆稳定的基本概念,在很多情形下，屈曲将导致构件失效，这种失效称为屈曲失效（failure by buckling）。由于屈曲失效往往具有突发性，常常会产生灾难性后果，因此工程设计中需要认真加以考虑。,线性理论认为，细长压杆在临界点以及临界点以后的平衡路径都是随遇的，即：载荷不增加，屈曲位移不断增加。 精确的非线性理论分析结果表明，细长压杆在临界点以及临界点以后的平衡路径都是稳定的，并于20世纪90年代初得到了实验证明。, 细长压杆临界点平衡的稳定性, 压杆稳定的基本概念, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,第
7、11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,返回首页,返回总目录, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,从平衡路径可以看出，分叉点附近，当w00时FPFPcr。这表明，当FP无限接近分叉载荷FPcr时，在直线平衡构形附近无穷小的邻域内，存在微弯的平衡构形。根据这一平衡构形，由平衡条件和小挠度微分方程，以及端部约束条件，即可确定临界载荷。,忽略剪切变形的影响，不考虑杆的轴向变形,假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆的平衡：, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,M (x) = FP w (x),假设压力略大于临界力，在外界扰动下压杆处于微弯状态。考察微弯状态下局部压杆
8、的平衡：, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,微分方程的解,w =Asinkx + Bcoskx,边界条件,w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,微分方程的解,w =Asinkx + Bcoskx,边界条件,w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0,根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零的条件是它们的系数行列式等于零：, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,由此得到临界载荷,最小临界载荷, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,得到屈曲位移函数,w =Asinkx + Bcoskx,其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。这与开
9、始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。, 两端铰支压杆的临界载荷 欧拉公式,屈曲位移函数,n的含义：, 不同刚性支承对压杆临界 载荷的影响,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,返回首页,返回总目录,不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆，这些公式可以写成通用形式：,这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1e
10、ngth），可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比值确定。, 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响,一端自由， 一端固定 2.0,两端固定 0.5,一端铰支，一端固定 0.7,两端铰支 1.0, 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响,需要注意的是, 临界载荷公式只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。, 不同刚性支承对压杆临界载荷的影响, 临界应力与临界应力总图,第11章 压杆的稳定性分析与稳定性设计,返回首页,返回总目录, 临界应力与长细比的概念, 三类不同压杆的不同失效形式, 三类压杆的临界应力公式, 临界应力与临界应力总图, 临界应力总图与P、s值的确定
11、,问题的提出：对于四根材料和直径相同，但是长度不同、支承不同的压杆, 能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？, 四根压杆是不是都会发生弹性屈曲？, 临界应力与临界应力总图,前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即,其中cr称为临界应力(critical stress)； p为材料的比例极限。, 临界应力与长细比的概念, 临界应力与临界应力总图,对于某一压杆，当分叉载荷FP尚未算出时，不能判断压杆横截面上的应力是否处于弹性范围；当分叉载荷算出后，如果压杆横截面上的应力超过弹性范围，
12、则还需采用超过比例极限的分叉载荷计算公式。这些都会给计算带来不便。,能否在计算分叉载荷之前，预先判断哪一类压杆将发生弹性屈曲？哪一类压杆将发生超过比例极限的非弹性屈曲？哪一类不发生屈曲而只有强度问题？回答当然是肯定的。为了说明这一问题，需要引进长细比（slenderness）的概念。, 临界应力与临界应力总图,长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：,其中，i为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：,从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。, 临界应力与临界应力总图,用长细比表示的细
13、长杆临界应力公式, 临界应力与临界应力总图,细长杆长细比大于或等于某个极限值p时，压杆将发生弹性屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力不超过材料的比例极限，这类压杆称为细长杆。,粗短杆长细比小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为粗短杆。,长中杆长细比小于p，但大于或等于另一个极限值s时，压杆也会发生屈曲。这时，压杆在直线平衡构形下横截面上的正应力已经超过材料的比例极限，截面上某些部分已进入塑性状态。这种屈曲称为非弹性屈曲。这类压杆称为中长杆。, 三类不同压杆的不同失效形式, 临界应力与临界应力总图,需要特别指出的是，细长杆和中长杆在轴向压缩载荷作用下，虽然都会
14、发生屈曲，但这是两类不同的屈曲：第一，从平衡路径看，细长杆的轴向压力超过临界力后(如图所示)，平衡路径的分叉点即为临界点。这类屈曲称为分叉屈曲。中长杆在轴向压缩载荷作用下，其平衡路径无分叉和分叉点，只有极值点，这类屈曲称为极值点屈曲(limited point buckling)。, 临界应力与临界应力总图,对于细长杆，临界应力为, 三类压杆的临界应力公式, 临界应力与临界应力总图,对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用的是直线公式：, 三类压杆的临界应力公式,其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa。, 临界应力与临界应力总图,对
15、于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力:, 三类压杆的临界应力公式, 临界应力与临界应力总图, 临界应力总图与P、s值的确定,根据三种压杆的临界应力表达式，在坐标系中可以作出关系曲线，称为临界应力总图(figures of critical stresses), 临界应力与临界应力总图,根据临界应力总图中所示之关系，可以确定区分不同材料三类压杆的长细比极限值。,令细长杆的临界应力等于材料的比例极限(图中的B点)，得到,若令中长杆的临界应力等于屈服强度(图中的A点)，得到, 临界应力与临界应力总图,例 题 1,两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，
16、但二者长度和约束条件各不相同。试；,2. 已知：d =160 mm， E =206 GPa , 求：两根杆的临界载荷。,1. 分析: 哪一根压杆的临界载荷比较大？, 临界应力与临界应力总图,1. 分析两根压杆的临界载荷,从临界应力总图可以看出，对于材料相同的压杆，长细比越大，临界载荷越小。所以判断哪一根压杆的临界载荷大，必须首先计算压杆的长细比，长细比小者，临界载荷大。, 临界应力与临界应力总图,2. 已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa ,确定两根杆的临界载荷,首先计算长细比，判断属于哪一类压杆：,Q235钢 p=101,二者都属于细长杆，都可以采用欧拉公式。, 临界应力与临界应力总图,2.已知： d =160 mm， Q235钢， E =206 GPa , 确定两根杆的临界载荷,对于Q235钢 ， p=101，二者都属于细长杆，都可以
