《高数D33泰勒公式教学教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高数D33泰勒公式教学教案（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,第三章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,不足之处,精确度不高,不能具体估算出误差的大小.,x 的一次多项式,问题的提出：怎样提高精确度及估计误差的大小？,1. 求拟 n 次近似多项式,假设 f (x) n+1可导，要求:,故,令,则,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日型余项 .,泰勒(Taylor英)中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺
2、(Peano意) 型 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林( Maclaurin )公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.
3、,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,只要,即可！,2. 利用泰勒公式求极限,例3. 求,解:,由于,用洛必达法则不方便 !,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,证:,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P142 P144 ),3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数,例如,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,思考与练习,计算,解:
4、,原式,第四节,作业 P145 1 ; 4 ; 5 ; 7 ; 8; *10 (1), (2),泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,证: 由题设对,备用题 1.,有,且,下式减上式 , 得,令,两边同乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,等式左边为整数;,矛盾 !,2. 证明 e 为无理数 .,证:,故 e 为无理数 .,等式右边不可能为整数.,
