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1、,一 随 机 事 件 二 事件间的关系与运算 三 频 率 与 概 率,P&S,1 随 机 事 件 的 概率 目录索引,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,我们称之为随机现象，概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科。,P&S,一 、 随 机 事 件,比如： 降水 概率为 30% ， 某强队对弱队 赢球 的概率为 80% ， 某个固定群体中 男女比例 为 54：46 ；,在生活当中，经常接触到事件的概率，,这种在个别实验中其结果呈现出不确定性；,在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象，,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads
2、）、反面T （Tails）出现的情况。 E2 ：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现 的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有：,P&S,随机试验（Experiment ）,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。,这些实验具有以下特点： 可以在相同的条件下重复进行； 每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确实验的
3、所有可能结果； 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。,随机试验,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,样本空间(Space),定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。,P&S,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,S5 : 0,1,2,3 S6 : t | t 0 S7 : ( x ,
4、y ) | T 0 x , y T1 ,E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,定义： 随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件； 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。,随 机 事 件,P&S,我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,例如：S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT
5、 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1=t|t1000 表示 “灯泡是次品” 事件 B2=t|t 1000 表示 “灯泡是合格品” 事件 B3=t|t1500 表示“灯泡是一级品”,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,10 包含关系,二 、 事件间的关系与运算,20 和事件,30 积事件,40 差事件,50 互不相容,60 对立事件,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT, B=HHH,TTT,P&S,20 和事件,30 积事件,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,S,A,B,A,S,P&S,40 差事件,
6、第一章 概率论的基本概念,A,B,返回主目录,S6 : t | t 0 中 事件A = t | t 1000 “次品” 事件B = t | t 1000 “合格品” 事件C = t | t 1500 “一等品”,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,S,B,S,A,P&S,50 互不相容,60 对立事件,第一章 概率论的基本概念,A,返回主目录,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,第一章 概率论的基本概念,P&S,结合律:,分配律:,De Morgan定律:,返回主目录,. .,三 、 频 率 与 概 率,1） 频率的定义和性质,P&S,定义 在相同的条件下，进行了n 次试
7、验， 在这 n 次试验中，事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率，并记成 fn(A) 。,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,P&S,第一章 概率论的基本概念,它具有下述性质:,返回主目录,251 249 256 253 251 246 244 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012,2 ） 频率的稳定性,nA fn(A),P&S,n=500时,实 验 者 德摩根 蒲 丰 K 皮尔逊 K
8、皮尔逊,n nH fn(H),2048 4040 12000 24000,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,频 率 稳 定 值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,3） 概率的定义,定义 设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 称为事件 A 的概率，要求集合函数 满足 下列条件：,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,4 ） 概率
9、的性质与推广,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,. .,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,重 要 推 广,P&S,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,. .,加法公式的推广,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,2 等可能概型与几何概型目 录 索 引,等可能概型（古典概型） 几何概型,第一章 概率论的基本概念,返回主目录,生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同。,1 等可能概型（古典概型）,比如：足球比赛中扔硬币挑边，围棋比赛中猜先。,我们把这类实验称为等可能概型，考虑到它在概 率论早期发展中的重要地
10、位，又把它叫做古典概型。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,e1,ek, ,A,3,4,北,南,西,东,e2,en,2,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容；所以,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,. .,若事件 A 包含 k 个基本事件，即 A =e1, e2, ek , 则有 ：,例 1 将一枚硬币抛掷三次。设： 事件 A1为“恰有一次出现正面”， 事件 A2为“至少有一次出现正面”， 求 P (A1 ), P (A2 )。,第一章 概率论的基本概念,等可能
11、概型,返回主目录,解：根据上一节的记号，E2 的样本空间 S2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8，即 S2 中包含有限个元素，且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。, A1为“恰有一次出现正面”， A1=HTT, THT, TTH,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,. ., 事件 A2为“至少有一次出现正面”，,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 2 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 红球。从袋中
12、取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求：,1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取:,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返
13、回主目录,无放回抽取:,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。,解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球,共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的概率为 99.7%。,n p,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,经计算可得下
14、述结果：,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例4 设有 N 件产品，其中有 D 件次品，今从中任 取 n 件，问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又 在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解：在 N 件产品中抽取 n 件，取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,2） 有放回抽样,从N件产品中有放回地抽取
15、n件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,而在 N 件产品 中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率为：,此式即为二项分布的概率公式。,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 5 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为,“取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：,为：6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为：,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，,第一章 概率论的基本概念,等可能概型,返回主目录,例 6 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是
