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1、1,2.1 离散傅里叶变换(DFT) 2.2 快速傅里叶变换(FFT) 2.3 离散卷积 2.4 FFT应用,第2章 离散傅里叶变换(DFT),2,2.1 离散傅里叶变换(DFT),2.1.1 DFT定义 2.1.2 DFT推导 2.1.3 DFT性质 2.1.4 DFT的矩阵计算,3,2.1.1 离散傅里叶变换的定义,1. 定义 设x(n)是一个长度为N的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为,X(k)的离散傅里叶逆变换为,(3.1.2),式中， ，N称为DFT变换区间长度，通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。,4,证明IDFTX(k)的唯一性。 证明：把
2、(3.1.1)式代入(3.1.2)式有,为整数,为整数,所以， 在变换区间上满足下式： IDFTX(k)=x(n), 0nN-1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。,5,例 3.1.1 x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。 解：设变换区间N=8， 则,设变换区间N=16， 则,n,6,2. DFT的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中， x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性， 使(3.1.1)式和(3.1.2)式中的X(k)隐含了周期性，且周期为N。对任意整数m， 总有,均为整数,所以(3.1.1)式中， X(k)满足,同理可证明(3.1
3、.2)式中 x(n+mN)=x(n),7,实际上，任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列， 而x(n)则是 的一个周期， 即,为了叙述方便， 将(3.1.5)式用如下形式表示：,(3.1.7),8,图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓,9,2.1.2 DFT推导,1. 由Z变换推导 由Z变换可知，非周期序列x(n)的Z变换为 对于有限长序列x(n)(n=0,N-1)，X(z)的收敛区域总包括单位圆。若在单位圆的N个均分点上计算Z变换，得周期序列为,10,上式两边乘以 ，再对k从0N-1求和，得 这说明，长度小于或等于N的有限时宽序列可以用它的Z变换在单位
4、圆上的N个取样精确地表示，或有限时宽序列的DFT相当于其Z变换在单位圆等间隔点上的取样。,11,图 3.1.1 X(k)与X(e j)的关系,X(z)X(ej)X(k),12,2. 由离散傅里叶级数推导 如果x(n)的长度为N，且 ，则可写出 的离散傅里叶级数为,(3.1.8),(3.1.9),式中,(3.1.10),13,3. 由连续傅里叶变换推导 设xa(t)与Xa(j)构成傅立叶变换对，则 (1)时域采样：将xa(t)离散化 其频谱为X(ej)，是以2为周期的周期函数，即,14,(2) 时域截断：将xa(nT)由无限变为有限时宽x(n) x(n)= xa(nT)w(t) 其中 且N=T0
5、/T 也即 此时频谱为 X(ejT)*W(j) ，是的连续周期函数。,15,(3) 频域采样：将频谱离散化 为周期序列，其时域函数为 显然， 是以T0（T0=NT）为周期的序列，故其一周内恰好为原信号xa(t)的N个采样值。,16,将上述 求解，得 令 显然 完全由X(k)确定，而X(k)是以N为周期的序列，且在0N-1区间上xa(nT)可用x(n)表示，于是,17,同样，可推导出 显然，当时域采样满足时域采样定理时，频域不会发生混叠，这时，在0N-1区间上定义的X(k)恰好表示Xa(j)在带限区域内的采样值；而当频域采样满足频域采样定理时，时域才不会发生混叠，在0N-1区间上定义的x(n)才
6、能代表x(t)的有效采样值。 上述推导说明，离散傅立叶变换与连续傅立叶变换有密切关系。,18,2.1.3 DFT性质,DFT有许多性质与连续、序列傅里叶变换相似，但也有其独特性，这主要源于它所隐含的周期性，即循环性。 1. 线性性 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 0nN-1 式中a、b为常数，N=maxN1, N2，则y(n)的N点DFT为 Y(k)=DFTy(n)=aX1(k)+bX2(k), 0kN-1 (3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 该性质说明，DFT适用于离散线
7、性系统。,19,2. 循环位移性质 若x(n) X(k)成立，则 x(n-n0) X(k) 称为时间位移性 (1) 或 x(n) X(k-k0) 称为频率位移性 (2) (1)说明时域信号的加载时刻，对信号DFT的幅度不产生任何影响，只在频域引入一线性相移。 (2)说明用特定频率的余弦（或正弦）对信号进行调制，其结果是信号的频谱发生了位移（以调制频率为中心）。 由于x(n)与X(k)的周期性，使DFT的位移呈现循环特性。,20,图 3.2.1 循环位移过程示意图,21,3. 对称性 若x(n) X(k)成立，则 x*(n) X*(-k)（复共轭序列的DFT ） 或 x*(-n) X*(k) 或
8、 (1/N)X(n) x(-k) 说明DFT的时域与频域具有对偶关系。,22,证明： 根据DFT的唯一性,由X(k)的隐含周期性，有X*(N-k)=X*(-k)，X(N)=X(0)。 用同样的方法可以证明 DFTx*(N-n)=X*(k) (3.2.8),23,4. DFT的共轭对称性 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)也可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0nN-1 (3.2.11) 将式中的n换成N-n，并取复共轭，得到 x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-
9、xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n) (3.2.13) xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n) (3.2.14),24,(1) 如果 x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr(n)=Rex(n)=1/2x(n)+x*(n) jxi(n)=jImx(n)=1/2x(n)-x*(n) 则 DFTxr(n)=1/2DFTx(n)+x*(n) =1/2X(k)+X*(N-k)=Xep(k) DFTjxi(n)=1/2DFTx(n)-x*(n) =1/2X(k)-X*(N-k)=Xop(k) 由DFT的线性性质可得 X(k)=DFTx(n)=Xep(k
10、)+Xop(k) (3.2.16) 其中 Xep(k)=DFTxr(n)，X(k)的共轭对称分量 Xop(k)=DFTjxi(n)，X(k)的共轭反对称分量,25,(2)如果 x(n)=xep(n)+xop(n)， 0nN-1 (3.2.17) 其中 xep(n)=1/2x(n)+x*(N-n)，x(n)的共轭对称分量 xop(n)=1/2x(n)-x*(N-n)，x(n)的共轭反对称分量 则 DFTxep(n)=1/2DFTx(n)+x*(N-n) =1/2X(k)+X*(k)=ReX(k) DFTxop(n)=1/2DFTx(n)-x*(N-n) =1/2X(k)-X*(k)=jImX(k
11、) 因此 X(k)=DFTx(n)=XR(k)+jXI(k) (3.2.18) 其中 XR(k)=ReX(k)=DFTxep(n) jXI(k)=jImX(k)=DFTxop(n),26,有限长实序列DFT的共轭对称性说明： 设x(n)是长度为N的实序列，且X(k)=DFTx(n)，则 (1) X(k)共轭对称，即 X(k)=X*(N-k),0kN-1 (3.2.19) (2) 如果 x(n)=x(N-n)，则X(k)实偶对称，即 X(k)=X(N-k) (3.2.20) (3) 如果x(n)=-x(N-n)， 则X(k)纯虚奇对称，即 X(k)=-X(N-k) (3.2.21),27,利用D
12、FT的共轭对称性， 通过计算一个N点DFT， 可以得到两个不同实序列的N点DFT。 设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下： x(n)=x1(n)+jx2(n) 对x(n)进行DFT，得到 X(k)=DFTx(n)=Xep(k)+Xop(k) 由(3.2.16)式、 (3.2.13)式、(3.2.14)式得到 Xep(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) Xop(k)=DFTjx2(n)=1/2X(k)-X*(N-k) 所以 X1(k)=DFTx1(n)=1/2X(k)+X*(N-k) X2(k)=DFTx2(n)=-j1/2X(k)-X*(N-k),2
13、8,2.1.4 DFT的矩阵计算,DFT计算也可以采用矩阵计算法，这样可以利用计算机中的矩阵乘法子程序。,29,1. DFT的矩阵计算 根据DFT定义有 用一组线性方程表示为,30,令 x(n)=x(0)， x(1)， x(2)， x(N-1)T X(k)=X(0)， X(1)， X(2)， X(N-1)T 则方程组可用矩阵表示为 X(k)=ANx(n),31,2. IDFT的矩阵计算 根据IDFT定义有 类似地，可将逆变换表示为 其中AN*是AN的共轭矩阵，即,32,显然，当N确定时， AN与AN*为常数矩阵，只要给定x(n)或X(k)就可以通过矩阵计算出X(k)或x(n)。 用计算机程序实
14、现时，可以事先将AN与AN*存储在内存中。 AN与AN*中各元素由旋转因子 组成，利用旋转因子的周期性，可将AN与AN*简化。即AN与AN*中实际只包含N个不相同的元素： ， ， ， 或 ， ， ， 因此，只要确定出上述N个值，即可确定AN或AN*。,33,有两种确定方法： (1) 定义计算 (2) 几何计算 将单位圆从正实轴开始N等分，等分点在Z平面上的坐标即确定了 的值。 对于AN， 按i=0N-1在单位圆上顺时针取点； 对于AN*， 按i=0N-1在单位圆上逆时针取点。,34,以N=8为例计算AN与AN*。 显然有，,35,于是,36,例：计算x(t)=cos(2t)的频谱。 解:(1)对x(t)采样 根据采样定理，余弦信号一周至少采3个点，取N=4， 则 x(n)=1,0,-1,0T (2)求X(k) (3)将X(k)的观察区间位移到-N/2N/2-1，得 X(-2)=0, X(-1)=2, X(0)=0, X(1)=2, (4)离散频谱与连续频谱的对比 频域采样间隔f=1/T0=1/TP=1 由图中可看出 X(f)=(1/N)X(k) (f=kf) 该结论证明略。,37,时域 频域 非周期，连续 x(t) X(j)或X(f) 非周期，连续 无限长序列 x(n) X(ej) 周期，连续 周期N(T0)，序列 x(n) X(k) 周期N (1/T=fs) ,离散 时域采
