《线性代数应用举例教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数应用举例教学案例（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线性代数应用实例,取自线性代数机算与应用指导（MATLAB）版 2010.12,例 1 平板稳态温度的计算,为了计算平板形导热体的温度分布，将平板划分为许 多方格，每一个节点上的稳态温度将等于其周围四个 节点温度的平均值。由此可得出阶数与节点数相同的 线性方程组，方程的解将取决于平板的边界条件。 这个方法可以用来计算飞行器的蒙皮温度等。,平板温度计算的模型,整理为,向高阶系统扩展,则要解 25 阶的线性方程组。 运行书上的程序得温度分布 如下,将平板分割得愈细，求出的解就愈精确。如果把上 述区域分成 25 个点如右,MATLAB 程序ma2,例 2 交通流的建模,对于一个有双向车流的十 字路口
2、，根据流出流入车 数相等的规则，可以列出 下列方程组:,节点A：x1360 x2260 节点B：x2220 x3292 节点C：x3320 x4357 节点D：x4260 x1251 相应的矩阵方程为：,A=1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1; b=-100;72;37;-9; U=rref(A,b),MATLAB 程序(ma3),运行结果为： U = 1 0 0 -1 9 0 1 0 -1 109 0 0 1 -1 37 0 0 0 0 0,由于 U 的最后一行为全零，也就是说，四个方程中实 际上只有三个独立。x4 可以任设，因为如果有一些车沿 此路口环行
3、，对方程无影响，故方程组的解可如上表示.,把上述模型扩展到多个十字路，乃至整个城市，就构成高阶的线性代数方程组。例如下面的 6 节点交通流图，它就要由 6 个方程和 7 个变量来描述。用行最简型方法可以知道，它的解将包括两个自由变量。其物理意义类推。,向高阶系统扩展,左图描述了四个城市之间的航空 航线图，其中1、2、3、4 表示四 个城市；带箭头线段表示两个城 市之间的航线。设行号表示起点 城市，列号为到达城市，则 定义邻接矩阵 A 为：,例 3 飞机航线问题,转机航线的数学模型,不难证明：矩阵 A2=A*A 表示一个人连续坐两次航班可以到达的城市，矩阵 A3=A*A*A 表示连续坐三次航班可
4、以到达的城市：,其中，第 i 行描述从城市 i 出发，可以到达各个城市的 情况，若能到达第 j 个城市，记 A(i,j)=1，否则 A(i,j)=0， 规定 A(i,i)=0 (其中 i=1,2,3,4)。如第 2 行表示：从城市 2 出发可以到达城市 3 和城市 4 而不能到达城市 1 和 2。,多次转机到达的城市,分析矩阵 A3 的第二行，可以得出： 某人从城市 2 出发，连续坐三次航班 可以到达城市 2、3 和城市4，不能到 达城市 1，而到达城市 3 和城市 4 的 方法各有两种。,不难看出，转机两次以下的航线的航路矩阵为 At2= A+ A2 + A3 程序为（ma4） A=0,1,
5、1,1; 0,0,1,1; 0,0,0,0; 1,1,0,0; At2=A+A2+A3,例 4 行列式的几何应用,二阶行列式的几何意义是两个二维向量构成的平行四边形的面积，三阶行列式的几何意义是三个 3 维向量构成的平行六面体的体积。如下图所示，用 MATLAB 软件来实现面积和体积的运算。,实例 （I）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为：(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积； （II）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3), (-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。 （II
6、I）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。,平行四边形面积计算,解：(I)如图所示，三角形 ABC 的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半。其中：,由向量 和 所构成的平行四 边形的面积为行列式 的绝对值。 计算的MATLAB语句为： S=abs(a1*b2-a2*b1) 实例给出的是三角形三个顶点坐标a1,b1， a2,b2， a3,b3，求该三角形面积，则有： MATLAB写成S=abs(det(a2-a1,b2-b1; a3-a1,b3-b1),多边形可以划分为多个三角形来计算。 先对三角形面积计算构成一个函数程序； 这个子程序名为：cal_area3(A,B,C) A
7、,B,C为三个顶点的二维坐标向量 凸多边形面积只需多次调用这个函数程序； 例如五边形ABCDE，可由 S5= cal_area3(A,B,C)+ cal_area3(A,C,D)+ cal_area3(A,D,E) 求得。（MATLAB程序ma4） 也可由多边形面积子程序cal_arean(A)计算。,扩展至多边形面积计算,解：(II)如图所示，凸九边形面积是由9-2=7个三角形面积组成。,在MATLAB命令窗口运行程序ma5.m，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：,MATLAB 程序,function s=cal_area3(a,b,c) % a,b,c 应为同形的 2 维行向
8、量或列向量， % 格式检验语句略去 ab=b-a; % 计算向量AB ac=c-a; % 计算向量AC if size(ab)=1,2 % 判读向量AB是否为行向量 A=ab;ac; % 构造矩阵A else A=ab,ac; end s=abs(det(A)/2; % 根据公式计算三角形面积,例 5 药方配置问题,（1）某医院要购买这 7 种特效药，但药厂的第 3号和第 6 号特效药已经卖完，请问能否用其它特效药配制出这两种脱销的药品。 分析：即 3, 6 向量与其他向量是否线性相关 （2）现在该医院想用这 7 种中草药配制三种新的特效药，下表为新药所需的成分质量 (单位: 克) 。请问如何
9、配制。 分析：这是新药向量与原来药向量是否线性相关的问 题。,问题及分析思路,新药的成分要求,u1=10;12;5;7;0;25;9;6;8; u2=2;0;3;9;1;5;4;5;2; u3=14;12;11;25;2;35;17;16;12; u4=12;25;0;5;25;5;25;10;0; u5=20;35;5;15;5;35;2;10;0; u6=38;60;14;47;33;55;39;35;6; u7=100;55;0;35;6;50;25;10;20; U1=u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7 V1,r=rref(U1),问题 (1) 的 MATLAB 程序（ma6),
10、运行结果,V1 = 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r = 1 2 4 5 7,可见这七种特效药是“相关的”, 3、6 两种药可用其它 5种药线性配制出来, 但第1 、2 、 4、5 、7 种药“无关”。,因此，8，9 两种药可以配出，第 10 种药则不能配出。,V2 = 1 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 1 2 0 0 3 0 3 4 0 0 0 0 1 0 1 0
11、 2 2 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s = 1 2 4 5 7 10,为求第二个问题, 把 3 种新药与 7 种原药组成矩阵 U2， 求 rref，得：,s1=40 62 14 44 53 50 71 41 14 s2=162 141 27 102 60 155 118 68 52 s3=88 67 8 51 7 80 38 21 30 U2=U1,s1,s2,s3 V2 r=r
12、ref(U2),问题 (2) 的 MATLAB 程序,假设一个城市的总人口数是固定不变，但人口的分布 情况变化如下：每年都有 5 的市区居民搬到郊区； 而有 15 的郊区居民搬到市区。若开始有 700000 人 口居住在市区，300000 人口居住在郊区。请分析： （1）10 年后市区和郊区的人口各是多少？ （2）30 年后、50 年后市区和郊区的人口各是多少？ （3）分析（2）中数据相似的原因。,例 6 人口迁徙问题,解 这个问题可以用矩阵乘法来描述。令人口变量,其中 xn 为市区人口所占比例，yn 为郊区人口所占比例。 在 n+1年的人口分布状态为：,用矩阵乘法可写成：,A=0.95,0.
13、15;0.05,0.85; X0=700000;300000; X10=A10*X0,开始市区和郊区的人口数为,可以得到 n 年后市区和郊区的人口分布：,因此 (1) 10 年后的人口可用程序计算如下：,运行结果为：,故市区和郊区人口数约为：744630和255370。,无限增加时间 n，市区和郊区人口之比将趋向常数 0.75/0.25。为了弄清为什么它趋向于一个稳态值，需要求 Ak, 为此可先将 A 对角化, 再求其 k 次幂。,对角矩阵的幂次可以化为元素的幂次,余下很容易计算。,% 分析 n 年后城市人口分布(ma7) clear A=0.95,0.15; 0.05,0.85; X0=70
14、0000; 300000; P,lambda=eig(A); syms n % 定义符号变量 n Xn=P*lamda.n*inv(P)*X0,MATLAB 程序,显然, 随 n 增大 (4/5)n 趋近于零, 而 Xn 趋于,运行结果为：,例 7 多项式插值与拟合,求: (1) 过这五个点作一个四次多项式函数,(2) 请根据这五个点，拟合一个二次多项式函数,下表给出了平面坐标系中五个点的坐标。,并求 x=5 时的函数值 p4(5)。用 MATLAB 绘制多项式函 数 p4(x) 的曲线、已知点及插值点 (5, p4(5)。,并用 MATLAB 绘制 p2(x) 的曲线及已知的五个点。,其中矩
15、阵：,解：(1) 根据已知条件，把五个点的坐标值分别代入 四次多项式函数，可以得到如下线性方程组：,系数矩阵 A 的行列式为范德蒙 (Vandermonde) 行列式， 且五个坐标点的横坐标各不相同，则该行列式不等于零， 所以方程组有唯一解。,MATLAB 程序:(ma8) x=0;1;2;3;4; % 输入已知点坐标 y=-27;0;21;0;-75; A=x.0, x.1, x.2, x.3, x.4; % 构造 vandermonde 矩阵 a=Ay; % 得到适定方程组的唯一解 a,运行程序，得到 a(1)=-27, a(2)=12, a(3)=26, a(4)=-12, a(5)= 1.,把五个点的坐标值分别代入二次多项式函数，可以得 到如下线性方程组：,其中，,(2) 多项式拟合要解一个超定方程,该方程组有三个未知数，但有五个方程，进一步分析 可以得到该方程组无解，即不存在一个二次多项式曲 线刚好能过已知的五个点。MATLAB 软件提供了一个 利用最小二乘法解决超定方程组解的方法。求系数的 公式也是 a = Ay，以找到一条二次曲线来近似地描述 已知 5 个点的变化情况。,对比插值和拟合的曲线如下图,用平面坐
