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1、第四节 陪集与拉格朗日定理,一、陪集及其性质 1陪集定义及实例 2陪集的基本性质 二、拉格朗日定理及其应用 1拉格朗日定理及其推论 2拉格朗日定理的应用实例,第四节 陪集与拉格朗日定理,一、陪集及其性质 1陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群，aG.令Ha=ha | hH 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.,例 设A=1,2,3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中f1=,， f2=,f3=,， f4=,f5=,， f6=,令G=f1, f2, , f6，则G关于函数的复合运算构成群. 考虑G的子群H=f1, f2. 做出H的全体右陪集如下： Hf1=f
2、1f1, f2f1=f1, f2=H，Hf2=f1f2, f2f2=f2, f1=H Hf3=f1f3, f2f3=f3, f5，Hf4=f1f4, f2f4=f4, f6 Hf5=f1f5, f2f5=f5, f3， Hf6=f1f6, f2f6=f6, f4 Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6. ,定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,bG, R ab1H 则R是G上的等价关系，且aR = Ha.,证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG，aa1 = eH R 对称性. 任取a,bG，则 R ab1H (ab1) 1H ba1H R 传递性. 任
3、取a,b,cG，则 RR ab1Hbc1H ac1H R下面证明：aG，aR = Ha. 任取bG， baR R ab1H Ha=Hb bHa,推论 设H是群G的子群,则 （1）a,bG，Ha = Hb 或 HaHb = （2）Ha | aG = G 定理11.11 设H是群G的子群，则 aG，H Ha,类似地，也可以定义H的左陪集，即aH = ah | hH，aG 关于左陪集有下述性质： （1）eH = H （2）aG，aaH （3）a,bG，abH b1aH aH=bH （4）若在G上定义二元关系R， a,bG，R b1aH 则R是G上的等价关系，且aR = aH. （5）aG，H aH,
4、例题：设G为模12加群, 求 在G中所有的左陪集.,解： = 0, 3, 6, 9, 的不同左陪集有3个，即 0+ = , 1+ = 4+ = 7+ = 10+ = 1, 4, 7, 10 , 2+ = 5+ = 8+ = 11+ = 2, 5, 8, 11.,对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身. 任选元素aGH，求Ha, 作为第二个右陪集. 任选元素bG(HHa), 做第三个陪集Hb. 任选元素cG(HHaHb), 做第四个右陪集，. 依次做下去，由于G是有限群，经过有限步就可以得到G的全体右陪集.,分析：求群的所有陪集的方法，以右陪集为例加
5、以说明.,二、拉格朗日定理及其应用 1拉格朗日定理及其推论,证 设R是G中的一个等价关系，所以由定理11.10知，R必将G划分成不同的等价类a1R,a2R, ,ak R,使得 G = Ha1Ha2Har|G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har| 由定理11.11知，HaiH ，所以|Hai| = |H|m，i = 1,2,k, 得 n|G| = |H|k = mk 从而 m|n,定理11.12 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，|G|=n, |H|=m, 则 m|n,推论1 设G是n阶群，则aG，|a|是n的因子，且有an = e.,推论2 对阶为素数的群G，必存
6、在aG使得G = .,证 任取aG，是G的子群，的阶是n的因子. 是由a生成的子群，若|a| = r，则 = a0=e,a1,a2,ar1 即的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.,证 设|G| = p，p是素数. 由p2知G中必存在非单位元. 任取aG，a e，则是G的子群. 根据拉格朗日定理，的阶是p的因子，即的阶是p或1. 显然的阶不是1，这就推出G = ,2拉格朗日定理的应用实例 命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群.,证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取x,yG，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx， 因此G是Abel群.,证
7、 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群. 2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群. 都是Abel群.设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=. 由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群.,例 证明阶小于6的群都是Abel群.,本节内容及要求,熟悉陪集的定义和性质 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该定理解决简单的问题,第五节 正规子群与商群,一、正规子群的定义与实例 1正规子群的定义 2正规子群的实例 二、正规子群的判别法 1正规子群的判定定理 2正规子群的判别实例 三、商群 1. 商群定义及其实例 2. 商群的求解,
8、第五节 正规子群与商群,一、正规子群的定义与实例 1正规子群的定义 定义11.10设H是群G的子群. 如果aG都有Ha=aH，则称H是G的正规子群，记作HG.任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和e，都是G的正规子群. 如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群.,2正规子群的实例,例 设A=1, 2, 3，f1, f2, , f6是A上的双射函数. 其中 f1=, f2=,f3=, f4=,f5=, f6=, 令G=f1, f2, , f6，则G关于函数的复合运算构成群. G的全体子群是： H1 = f1, H2 = f1, f2, H3 = f1, f3， H4 = f1,
9、f4,H5 = f1, f5, f6, H6 = G H1, H5和H6是G的正规子群，而H2, H3和H4不是正规子群. ,二、正规子群的判别法 1正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群，NG gG,nN有gng1N.,定理11.14 设N是群G的子群， NG gG有 gNg1=N,2正规子群的判别实例 例 设N G，若G的其他子群都不与N等势，则NG.,证 任取gG，易证gNg1是G的子群， 下面证N gNg1. nN，令f(n) = gng1，则f：N gNg1. f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2，即f是单射. gng1gNg1，nN，f(n) =
10、 gng1 ，f是满射. 从而N gNg1. 根据已知条件，必有gNg1 = N. 所以NG.,三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即G/N = Ng | gG在G/N上定义二元运算如下：对于任意的 Na, NbG/N，Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群，称为G的商群.,例 设是整数加群,令3Z = 3z | zZ 则3Z是Z的正规子群. Z关于3Z的商群 Z/3Z = 0, 1, 2其中 i = 3z+i | zZ，i = 0, 1, 2且Z/3Z中的运算如下表所示.,例题设为模18加
11、群，求商群Z18/, /.,解： = 0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14. = 0, 3, 6, 9, 12, 15 = 0, 9 Z18/ = , 1+, 其中1+ = 1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15， 运算表为,2.商群的求解,/ = , 3+, 6+ 其中 3+ = 3, 12, 6+ = 6, 15. 运算表为,说明：求解商群的方法： 商群G/ N = Ng | g G . 先计算子群N 求所有陪集的集合G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|. 若商群为有限群，给出运算表；若商群为无限群，给出运算表达式,本节内容及要
12、求,正规子群的判别定理和方法 商群的定义和实例 会判别和证明子群的正规性 了解商群的概念,第六节 群的同态与同构,一、同态映射的定义 二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质 1同态映射保持元素的对应性 2同态映射保持子群的对应性 3有关同态核的性质 4同态基本定理,第六节 群的同态与同构,一、同态映射的定义 1. 定义11.11 设G1,G2是群，：G1G2，若a,bG1都有(ab)= (a)(b) 则称是群G1到G2的同态映射，简称同态.,定义11.12 设：G1G2是群G1到G2的同态. （1）若 ：G1G2是满射，则称为满同态， 这时也称G2是G1的同态像。 （2）若 ：G1G2是单
13、射的，则称为单同态. （3）若 ：G1G2是双射的，则称为同构，记作G1G2. （4）若G1=G2，则称是群G的自同态. 类似的可以定义满自同态、单自同态和自同构.,2. 特殊同态的分类：满同态、单同态、同构,二、典型同态映射的实例 例（1）G1=是整数加群，G2=是模n的整数加群. 令 ：ZZn，(x) = (x)mod n 则是G1到G2的满同态. x,yZ有 (x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n(y)mod n = (x)(y),（2）设G=是模n整数加群，可以证明恰有n个G的自同态，即 p：ZnZn, p (x) = (px)mod n，p = 0,1,n1,例
14、（3）设G1=是实数加群，G2=是非零实数乘法群. 令 ：RR*，(x)= ex 则是G1到G2的单同态, x,yR有 (x+y) = ex+y = exey = (x)(y),（4）设G1,G2是群，e2是G2的单位元. 令 ：G1G2，(a) = e2，aG1 则是G1到G2的同态，称为零同态. 因为a,bG1有 (ab) = e2 = e2e2 = (a) (b),例 设G为群，aG. 令 ：GG, (x)=axa1，xG 则是G的自同构，称为G的内自同构.,证 x,yG有 (xy)=a(xy)a1=(axa1)(aya1)= (x) (y) 所以是G的自同态. 任取yG，则a1yaG，
15、且满足 (a1ya)=a(a1ya)a1=y 所以是满射的. (x)= (y) axa1=aya1 x=y，从而证明了是单射的. 综合上述，是G的自同构. 注意：如果G是Abel群. 则G的内自同构只有恒等映射.,三、同态映射的性质 1同态映射保持元素的对应性 定理11.5 设是群G1到G2的同态映射，e1和e2分别为G1和G2的单位元，则 （1）(e1) = e2（2）(a1) = (a)1，aG1,例 设G1=是有理数加群，G2=是非零有理数乘法群. 证明不存在G2到G1的同构.,证 假设是G2到G1的同构，那么有 ：G2G1，(1) = 0 于是有(1)+(1) = (1)(1) = (
16、1) = 0 从而得(1) = 0，这与的单射性矛盾.,定理11.16设是群G1到G2的同态，H是G1的子群，则（1）(H)是G2的子群.（2）若H是G1的正规子群，且是满同态，则(H)是G2的正规子群.,2同态映射保持子群的对应性,定义11.13 设是群G1到G2的同态，令ker = x | xG1(x) = e2 其中e2为G2的单位元. 称ker为同态的核.,3有关同态核的性质,实例： （1）：ZZn， (x) = (x) mod n， ker = z | zZn整除z = nZ （2）：RR*，(x) = ex， ker = 0 （3）：G1G2，(a) = e2，aG1，是零同态， ker = G1,定理11.17 设是群G1到G2的同态，则 （1）kerG1（2）是单同态当且仅当ker = e1，其中e1为G1的单位元.,定理11.18 (同态基本定理) 设G是群，N是G的正规子群，则G/N是G的同态像，反之，G是G在下的同态像，则 G
