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1、3.3 局部改变量的估值问题 微分及其运算,3.1 微分,一、微分的概念 二、微分的几何意义,一、 微分概念,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量,设边长由x变到x+x,正方形面积S=x2,S=(x+x)2x2,=2xx+(x)2,S=x2,(1):x的线性函数,(2):x的高阶无穷小,当|x|很小时可忽略,为S的主要部分,2xx,S=x2的微分,设函数y=f(x)在点x处有增量x,若 相应的函数增量y可表示成 y=Ax+o(x), 其中A与x无关,Ax称为y的线性主部, o(x)是关于x的高阶无穷小, 则称函数 y=f(x)在点x可微, 并称Ax为函数y=f(x) 在点x处的微分,记作dy
2、或df(x),即 dy=df(x)=Ax,定义,有 y=dy+o(x),函数f(x)在点x可微函数f(x)在点 x可导,且A=f (x),定理,证,必要性:,f(x)在点x可微,y=Ax+o(x),=A,即函数f(x)在点x可导,且A=f (x),充分性:,f(x)在点x可导,从而y=f (x)x+x,=f (x)x+o(x),0 (x0),即函数f(x)在点x可微,可导可微,A=f (x),于是,微分dy=Ax可写成dy=f (x)x,通常把自变量x的增量x称为自变 量的微分,记作dx,即dx=x,令y=x,dy=dx,=yx=xx,=x,于是,微分进一步可写成: dy=f (x)dx,二、
3、 微分的几何意义,如图,即y是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量,dy,N,f (x0)=tan,思考题,由于函数y=f(x)在x的可微性与可 导性是等价的, 所以有人说“微分就是 导数,导数就是微分”,这说法对吗？,解答:,说法不对,从概念上讲,微分是从求函数增量 引出线性主部而得到的,导数是从函数 变化率问题归纳出函数增量与自变量 之比的极限,它们是完全不同的概念,3.2 微分公式和法则,一、导数公式和微分公式 二、导数法则和微分法则,微分的求法:,dy=ydx,即计算函数的导数,乘以自变量的微分,求导数和求微分的方法统称为微分法,一、导数公式和微分公式,(1) (C)=0,
4、d(C)=0,(2) (x)=x1,d(x)=x1dx,(4) (ax)=axlna,d(ax)=axlnadx,(ex)=ax,d(ex)=exdx,(5) (sinx)=cosx,d(sinx)=cosxdx,(cosx)= sinx,d(cosx)= sinxdx,(tanx)=sec2x,d(tanx)=sec2xdx,(cotx)= csc2x,d(cotx)= csc2xdx,(secx)=secxtanx,d(secx)=secxtanxdx,(cscx)= cscxcotx,d(cscx)= cscxcotxdx,二、导数法则和微分法则,(1) (uv)=uv,d(uv)=du
5、dv,(2) (uv)=uv+uv,d(uv)=vdu+udv,(Cv)=Cv,d(Cv)=Cdv,(4) yx=yuux,dy=yuuxdx,例1. 设,解,例2. 设y=x tan xsin x，求dy.,解,注意，当然也可以直接用公式 求微分.,例3.,求,解:,例4. 设,解,例5. 设y = e3vcos2v. 求dy.,解：,3.3 微分在近似计算中的应用,一、计算函数增量的近似值 二、计算函数值的近似值,一、计算函数增量的近似值,ydy,=f (x)x,例1 半径10厘米的金属圆片加热后半径 伸长了0.05厘米,问面积增大了多少?,解:,r=10厘米,r=0.05厘米,S=r2,SdS,=2rr,=2100.05,=(厘米)2,二、计算函数值的近似值,y=f(x+x)f(x), f (x)x,f(x+x) f(x)+f (x)x,可用于计算函数y=f(x)在点x0附近 点x0+x处函数值的近似值,或 f(x0+x) f(x0)+f (x0)x,例2 计算cos6030的近似值,解:,设f(x)=cosx,f (x)= sinx,(x为弧度),0.4924,例3 求 的近似值,解:,设, x0=1,x=0.02, f(1)=1,f(1)+f (1)0.02,1.0067,
