{环境管理}环境系统分析第三章

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1、第三章 环境质量基本模型 1 污染物在环境介质中的运动 一、基本概念 环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。 三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。 运动: 事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。 污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质。,二、污染物在介质中各种运动（重要概念） 1、推流迁移运动：指污染物在气流或者水流作用下产生的位置移动。 污染物迁移量(质量通量)：（单位

2、：物质量/单位时间*单位面积，如g/m2s） X轴方向： fx=uxC Y轴方向： fy=uyC， Z轴方向： fz=uzC。,S,L,ux,Q,t,x,z,y,uy,这段河道中的总水量,2 扩散(稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。 1）分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散溶解，其速度与“热”有关。 浓度梯度 ：在某个方向上的浓度变化率 Fick第一定律（通量） X上某点浓度梯度 单位：物质量/单位时间*单位面积 Em为分子扩散系数，且各向同性； 2)湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动撕裂 Fick第一定律

3、（通量）：,*,*,x,c= c2- c1,x,c1,c2,x,y,z,I1X,I1Z,I1Y,单位：物质量/单位时间*单位面积 Ex, Ey, Ez 为x, y, z 三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x, y 方向的扩散系数大于z 方向的扩散系数。 3)弥散扩散：由于介质宏观运动(流速)分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。 为断面平均值 ,单位：物质量/单位时间*单位面积,*,*,c1,c2,须考虑,须考虑,3 裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是增生了。 以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度”

4、变化速率，是该物质“浓度”本身的常系数一次函数，又称一级动力学模型。 当 物质量为增生时： c2 c1时， 当 物质量为衰减时： c1 c2时,衰减速度常数,单位时间、单位体积内的物质增量,*,*,t,t2,t1,c1,c2,浓度变化速度,4 （综合三种作用）的图像理解 只有推流迁移 推流迁移+扩散 推流迁移+扩散+裒减 推流迁移+裒减 无推流迁移 无推流迁移 仅有扩散 有扩散+裒减,2 基本模型的推导 1.质量守恒原理 初始存量为：存量1， 一段时间后：存量2 对于输入端：物质总量=存量1+进入量 （1） 对于输出端：物质总量=存量2+出去量 （2） 存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-

5、存量1=进入量-出去量 存量的变化量（增量）=进入量-出去量,存量,进入量,出去量,2. 零维模型推导(完全混合）（重要） 在 t1 t2的 t时段内 浓度 c1 c2 c=c2-c1 物质量 vc1 vc2 m=v(c2-c1)=v c 单位时间的物质变化量：,k V,Q, C0,S,Q, C,根据质量平衡原理,单位时间的物质变化量也可表示为 Q*c0+S - (kc)*v -QC 所以：,m3/s,mg/ m3,mg/s,mg/s*m3,m3,进入量,出去量,衰减项,其中，V为反应器容积，Q为流入与流出反应器的介质流量 C为输出反应器的污染物浓度，C0为输入反应器的污染物浓度，K为污染物衰

6、减速度系数，S为污染物的源与汇 零维模型主要应用于箱式空气质量模型和湖泊、水库水质模型。,一维模型推导（了解） 推流：fx=uxC 扩散： 立方体体积: 迎水面面积：,x,s,t1 t2 c1 c2,在x方向上立方体内污染物在t1 t2时段内的变化量： 在单位时间内的变化量： 单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为:(设任意点推流通量函数为f(x),扩散通量I(x) f(x)=uxC,x0,X0+x,k,根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开： 将推流函数f(x)在x=x0展开： 所以在x =x0+ x处 ： 因为微元很小,x也很小，

7、可将所有含大于2阶得导数项省略，得： 将扩散函数I(x)在x=x0展开:,所以在x =x0+ x处，将所有含大于2阶得导数项省略，得： 单位时间输入量： 断面面积 单位时间输出量： 单位时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）,z,y,x,C,E,C,u,z,y,I,f,x,x,x,x,D,D,-,=,D,D,+,),(,z,y,x,x,C,E,x,x,C,E,x,C,u,x,C,u,x,x,x,x,D,D,D,-,+,-,D,+,),(,),(,（2）,（3）,推流增量,扩散增量,约去相同项： 当ux, Ex,为常数时， 如果考虑衰减作用： 体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为,-,单

8、位时间单位体积内的衰减量,单位时间浓度变化,推流增量,扩散增量,衰减变化量(源汇项）,局地项,推流项,扩散项,衰减项,二维模型推导 与一维基本模型的推导相似，当在 x 方向和 y 方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型 Y方向扩散项 Y方向推流项 式中，Ey y 坐标方向的弥散系数；uy y方向的流速分量； 三维模型推导 如果在x、y、z 三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型： 式中，Ex 、Ey 、Ez x、y、z 坐标方向的湍流扩散系数；uz z方向的流速分量。,KC,y,C,u,x,C,u,y,C,E,x,C,E,t,C,y,x,y,x,-,-,-,+,=,2,2

9、,2,2,模型使用范围（重要） 零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化） -适合于箱体，湖泊环境 一维模型（在一个方向上有浓度梯度变化） -适合于细、长、浅河流环境 二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化） -适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖 三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化） -适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖,3 数值解与解析解 一、概述 由于环境问题涉及因素复杂(一些模式参数常是变数)，数学上能求得解析解的微分方程(又称控制方程)又不多，常需把问题简化(对运动作约束)后才能求得解析解，因此解析解的使用条件很严，不能乱用。控制方程简化过程中涉及的数学分析问题有： 1

10、. 化简控制方程（重要） 1）物质运动性质分析，常涉及微分方程(控制方程)的阶数。 平流问题，控制方程是一阶微分方程： 扩散问题，控制方程是二阶微分方程：,2） 物质运动在几维空间内进行，含几个空间变量。 在一维空间内运动，只含一个空间变量： 即 在二维空间内运动，含二个空间变量： 在三维空间内运动，含三个空间变量： 3） 运动是否随时间而变化，方程含不含时间t这个变 量。 对于瞬时排放，污染物浓度随时间而变化,对于稳定排放，浓度不随时间变化 4）运动中是否质量、能量守恒的分析，常涉及是否存在“外力”作用，控制方程中有否强迫项(源、汇)。 无源、汇项存在，守恒物质方程： 非守恒物质，有源、汇存

11、在，方程非齐次 2.模型解析解(重要） 解析解： 通解： 定解： 定解条件（初、边值条件）：,源汇项,例题：求 的通解、定解(了解） 代入初边值条件求积分常数：x=0时，c=c0,积分常数,通解：,积分常数,c,c,1） 瞬时排放的解析解（浓度随时间变化） (1) 一维流场、无弥散、有推流、有裒减，（重要）（推流作用扩散作用） 控制方程为： 根据条件化简上面方程 得： 解：图像表示,t=0 t=1 t=2,X=ut,初始条件：t=0时,c=C0，则其浓度为: x = u t 污染物正好到达 ： =0 当x u t 污染物已过或未到 显然只有x=ut处有污染物。 (2) 一维流场，有弥散、有推流

12、、有裒减，（弥散、推流、裒减作用相当） 控制方程为： （重要） 求得通解，代入以下初边值条件 初值：t=0,c=c0; 边值：x=0， c=c0 ；x=，c=0,污染源坐标,0,x0,D,复习随机变量的正态分布函数 随着时间的t的变化有： 水团长度,x,a,ut,x,c,例题 3-1 瞬时向河流中投放示踪剂，含若丹明染料5kg,在起始断面处充分缓和，假定河流平均宽度10m，平均水深0.5m,平均流速0.5m/s,纵向弥散系数为0.5m2/s,试求距投放点500m处的若丹明浓度分布的时间过程线。 假定断面面积为矩形，则面积A宽深10*0.5=5m2,u=0.5 m/s, D= 0.5m2/s,M

13、=5kg=5*106mg T(min) 10 12. C(mg/l) 5*10-14 1.8*10-5.,c,t,图像： (4) 二维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为 其解为:,t,X方向分布,y方向分布,点,（0，0）,，t）,图形：,ut,x,c,c,y,c,y,x,uyt,x,y,(3) 三维流场，有推流、扩散、裒减，控制方程为： 控制方程： 其解为 ： 当污染源坐标（x0, y0, z0)位于三维坐标的原点（0，0，0）时，有：,令 上式=,X方向分布,Y方向分布,Z方向分布,C,X,ut,C,y,vt,C,z,wt,2） 稳定排放的解析解 稳定排放定义： 排放强度变化很小(变化率

14、在10%以内)； 排放时间长( T X / u )。 稳定排放问题没有初值，只有边值。 (1) 0维(箱模式)：有一股流量为Q的污水，流经容积为V的水箱，污水流入水箱后与箱内水体充分混合，并与箱内微生物反应、造成污染物以k的速率裒减 控制方程： 解析解 当t无穷大时：,K,v,c,Q, C0,Q, C,当t足够长时， 解为： (2)一维稳态、无弥散、推流、裒减模式： 设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。 控制方程为 : 边值条件为:x=0处C=C0 求解过程：,得： 代入边值条件： 问题：在什么情况下，可以忽略扩散的影响？ 由于一般河流中|u|Dx|，所以考虑不考虑弥散并不重要 复

15、习常微分方程解法,变量,x,c,积分常数,（3）一维稳态、有弥散、推流、裒减模式， 控制方程为： 代入边值：x=0, C=C0, x=, C=0。 可以推断解析解形式： C=f(x) 导数形式 而当解析解为：c=f(x,y,z,) 导数形式： 控制方程变为： 课后作业：1 求上述常微分方程的定解 2 说明一维稳态方程与动态方程的区别,其特征方程为： Dx2 - u- k = 0 由此求出特征根 ： 其通解为： 代入边值：x=0, C=C0, x=, C=0。 得A=0，B=C0 ，故解为 (6) 二维稳态、有弥散、推流、裒减模式 二维河道中可以忽略X方向的扩散 Dx,y方向的推流作用，,化简：,c,x,e-kt,重要,此控制方程(排放口在坐标原点：x=0, y=0)求解较复杂， 其解为 :,y方向的分布,x,y,