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1、第 1页(共 20页) 2010 年全国统一高考数学试卷(理科) (全国大纲版)年全国统一高考数学试卷(理科) (全国大纲版) 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 60 分)分) 1 (5 分) (2010全国大纲版)复数() AiBiC1213iD12+13i 2 (5 分) (2010全国大纲版)记 cos(80)k,那么 tan100() ABCD 3 (5 分) (2010全国大纲版)若变量 x,y 满足约束条件,则 zx2y 的最 大值为() A4B3C2D1 4 (5 分) (2010全国大纲版)已知各项均为正数的等比数列an,a1a
2、2a35,a7a8a9 10,则 a4a5a6() AB7C6D 5 (5 分) (2010全国大纲版) (1+2)3(1)5的展开式中 x 的系数是() A4B2C2D4 6 (5 分) (2010全国大纲版)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从 中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有() A30 种B35 种C42 种D48 种 7 (5 分) (2010全国大纲版)正方体 ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面 ACD1所成角的 余弦值为() ABCD 8 (5 分) (2010全国大纲版)设 alog32,bln2,c,则() Aa
3、bcBbcaCcabDcba 9 (5 分) (2010全国大纲版)已知 F1、F2为双曲线 C:x2y21 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF260,则 P 到 x 轴的距离为() ABCD 第 2页(共 20页) 10 (5 分) (2010全国大纲版)已知函数 f(x)|lgx|,若 0ab,且 f(a)f(b) , 则 a+2b 的取值范围是() ABC (3,+)D3,+) 11 (5 分) (2010全国大纲版)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么的最小值为() ABCD 12 (5 分) (2010全国大纲版)已知在半径为 2 的
4、球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB CD2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为() ABCD 二、填空题(共二、填空题(共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分)分) 13 (5 分) (2010全国大纲版)不等式的解集是 14 (5 分) (2010全国大纲版)已知为第三象限的角,则 15 (5 分) (2010全国大纲版)直线 y1 与曲线 yx2|x|+a 有四个交点,则 a 的取值 范围是 16 (5 分) (2010全国大纲版)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线 段 BF 的延长线交 C 于点 D,且,则 C 的离心率为 三、解
5、答题(共三、解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17 (10 分) (2010全国大纲版)已知ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b acotA+bcotB,求内角 C 18 (12 分) (2010全国大纲版)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审若能 通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若 恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审, 则予以录用,否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件 能通过评审的概率为 0.3各专家独立评审 ()求投到该杂志的 1
6、篇稿件被录用的概率; ()求投到该杂志的 4 篇稿件中,至少有 2 篇被录用的概率 19 (12 分) (2010全国大纲版)如图,四棱锥 SABCD 中,SD底面 ABCD,ABDC, 第 3页(共 20页) ADDC,ABAD1,DCSD2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC平面 SBC ()证明:SE2EB; ()求二面角 ADEC 的大小 20 (12 分) (2010全国大纲版)已知函数 f(x)(x+1)lnxx+1 ()若 xf(x)x2+ax+1,求 a 的取值范围; ()证明: (x1)f(x)0 21 (12 分) (2010全国大纲版)已知抛物线 C:y24x 的焦点
7、为 F,过点 K(1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D ()证明:点 F 在直线 BD 上; ()设,求BDK 的内切圆 M 的方程 22 (12 分) (2010全国大纲版)已知数列an中,a11,an+1c ()设 c,bn,求数列bn的通项公式; ()求使不等式 anan+13 成立的 c 的取值范围 第 4页(共 20页) 2010 年全国统一高考数学试卷(理科年全国统一高考数学试卷(理科) (全国大纲版(全国大纲版) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满
8、分 60 分)分) 1 (5 分) (2010全国大纲版)复数() AiBiC1213iD12+13i 【分析】复数的分子中利用i21 代入 3,然后化简即可 【解答】解: 故选:A 【点评】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧 2 (5 分) (2010全国大纲版)记 cos(80)k,那么 tan100() ABCD 【分析】法一:先求 sin80,然后化切为弦,求解即可 法二:先利用诱导公式化切为弦,求出求出结果 【解答】解:法一, 所以 tan100tan80 : 法二cos(80)kcos(80)k, 【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数
9、知识,并突出了弦 切互化这一转化思想的应用 3 (5 分) (2010全国大纲版)若变量 x,y 满足约束条件,则 zx2y 的最 大值为() A4B3C2D1 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,zx2y 表示直线在 y 轴上的截距,只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 第 5页(共 20页) 【解答】解:画出可行域(如图) ,zx2yyxz, 由图可知, 当直线 l 经过点 A(1,1)时, z 最大,且最大值为 zmax12(1)3 故选:B 【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力,以及利用几何意 义求最值,属于基础题 4 (5 分)
10、(2010全国大纲版)已知各项均为正数的等比数列an,a1a2a35,a7a8a9 10,则 a4a5a6() AB7C6D 【分析】由数列an是等比数列,则有 a1a2a35a235;a7a8a910a8310 【解答】解:a1a2a35a235; a7a8a910a8310, a52a2a8, , 故选:A 【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识, 着重考查了转化与化归的数学思想 5 (5 分) (2010全国大纲版) (1+2)3(1)5的展开式中 x 的系数是() A4B2C2D4 【分析】利用完全平方公式展开,利用二项展开式的通项公式求出 x 的
11、系数 【解答】解: (1+2)3(1)5(1+6+12x+8x) (1)5 第 6页(共 20页) 故(1+2)3(1)5的展开式中含 x 的项为 1C53()3+12x10 x+12xC50 2x, 所以 x 的系数为 2 故选:C 【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的 灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些 基本运算能力 6 (5 分) (2010全国大纲版)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从 中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有() A30 种B35 种C
12、42 种D48 种 【分析】两类课程中各至少选一门,包含两种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门;A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,写出组合数,根据分类计数原理得到结果 【解答】解:可分以下 2 种情况:A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有 C31C42 种不同的选法; A 类选修课选 2 门,B 类选修课选 1 门,有 C32C41种不同的选法 根据分类计数原理知不同的选法共有 C31C42+C32C4118+1230 种 故选:A 【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想本题也 可以从排列的对立面来考虑,写出所有的减去
13、不合题意的,可以这样解:C73C33C43 30 7 (5 分) (2010全国大纲版)正方体 ABCDA1B1C1D1中,BB1与平面 ACD1所成角的 余弦值为() ABCD 【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 BB1,上下底面中心的连线与平面 ACD1所成 角,即为 BB1与平面 ACD1所成角, 直角三角形中,利用边角关系求出此角的余弦值 【解答】解:如图,设上下底面的中心分别为 O1,O,设正方体的棱长等于 1, 则 O1O 与平面 ACD1所成角就是 BB1与平面 ACD1所成角,即O1OD1, 第 7页(共 20页) 直角三角形 OO1D1中,cosO1OD1, 故选:D 【
14、点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法, 利用等体积转化求出 D 到平面 ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现,属于中档题 8 (5 分) (2010全国大纲版)设 alog32,bln2,c,则() AabcBbcaCcabDcba 【分析】根据 a 的真数与 b 的真数相等可取倒数,使底数相同,找中间量 1 与之比较大 小,便值 a、b、c 的大小关系 【解答】解:alog32,bln2, 而 log23log2e1,所以 ab, c,而, 所以 ca,综上 cab, 故选:C 【点评】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与
15、对数函数的性质、实数大小 的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用 9 (5 分) (2010全国大纲版)已知 F1、F2为双曲线 C:x2y21 的左、右焦点,点 P 在 C 上,F1PF260,则 P 到 x 轴的距离为() ABCD 【 分 析 】 设 点 P ( x0, y0) 在 双 曲 线 的 右 支 , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得 第 8页(共 20页) , 由 余 弦 定 理 得cos F1PF2 ,由此可求出 P 到 x 轴的距离 【解答】解:不妨设点 P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得 , 由余弦定理得 cosF1PF2,即cos60 , 解
16、得,所以,故 P 到 x 轴的距离为 故选:B 【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想, 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 10 (5 分) (2010全国大纲版)已知函数 f(x)|lgx|,若 0ab,且 f(a)f(b) , 则 a+2b 的取值范围是() ABC (3,+)D3,+) 【分析】由题意 f(a)f(b) ,求出 ab 的关系,然后利用“对勾”函数的性质知函数 f (a)在 a(0,1)上为减函数, 确定 a+2b 的取值范围 【解答】解:因为 f(a)f(b) ,所以|lga|lgb|,所以 ab(舍去) ,或,所以 a+2b 又 0ab,所以 0a1b,令,由“对勾”函数的性质知函数 f(a)在 a(0,1)上为减函数, 第 9页(共 20页) 所以 f(a)f(1)1+3,即 a+2b 的取值范围是(3,+) 故选:C 【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视 a 的取值范围,而利用均值不等式求得 a+2b,从而错选