《2010年全国统一高考数学试卷（理科）（全国大纲版ⅰ）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010年全国统一高考数学试卷（理科）（全国大纲版ⅰ）（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1页（共 20页） 2010 年全国统一高考数学试卷（理科） （全国大纲版）年全国统一高考数学试卷（理科） （全国大纲版） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 60 分）分） 1 （5 分） （2010全国大纲版）复数（） AiBiC1213iD12+13i 2 （5 分） （2010全国大纲版）记 cos（80）k，那么 tan100（） ABCD 3 （5 分） （2010全国大纲版）若变量 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最 大值为（） A4B3C2D1 4 （5 分） （2010全国大纲版）已知各项均为正数的等比数列an，a1a
2、2a35，a7a8a9 10，则 a4a5a6（） AB7C6D 5 （5 分） （2010全国大纲版） （1+2）3（1）5的展开式中 x 的系数是（） A4B2C2D4 6 （5 分） （2010全国大纲版）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从 中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A30 种B35 种C42 种D48 种 7 （5 分） （2010全国大纲版）正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的 余弦值为（） ABCD 8 （5 分） （2010全国大纲版）设 alog32，bln2，c，则（） Aa
3、bcBbcaCcabDcba 9 （5 分） （2010全国大纲版）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则 P 到 x 轴的距离为（） ABCD 第 2页（共 20页） 10 （5 分） （2010全国大纲版）已知函数 f（x）|lgx|，若 0ab，且 f（a）f（b） ， 则 a+2b 的取值范围是（） ABC （3，+）D3，+） 11 （5 分） （2010全国大纲版）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么的最小值为（） ABCD 12 （5 分） （2010全国大纲版）已知在半径为 2 的
4、球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB CD2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（） ABCD 二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分） （2010全国大纲版）不等式的解集是 14 （5 分） （2010全国大纲版）已知为第三象限的角，则 15 （5 分） （2010全国大纲版）直线 y1 与曲线 yx2|x|+a 有四个交点，则 a 的取值 范围是 16 （5 分） （2010全国大纲版）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线 段 BF 的延长线交 C 于点 D，且，则 C 的离心率为 三、解
5、答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分） （2010全国大纲版）已知ABC 的内角 A，B 及其对边 a，b 满足 a+b acotA+bcotB，求内角 C 18 （12 分） （2010全国大纲版）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审若能 通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若 恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审， 则予以录用，否则不予录用设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5，复审的稿件 能通过评审的概率为 0.3各专家独立评审 （）求投到该杂志的 1
6、篇稿件被录用的概率； （）求投到该杂志的 4 篇稿件中，至少有 2 篇被录用的概率 19 （12 分） （2010全国大纲版）如图，四棱锥 SABCD 中，SD底面 ABCD，ABDC， 第 3页（共 20页） ADDC，ABAD1，DCSD2，E 为棱 SB 上的一点，平面 EDC平面 SBC （）证明：SE2EB； （）求二面角 ADEC 的大小 20 （12 分） （2010全国大纲版）已知函数 f（x）（x+1）lnxx+1 （）若 xf（x）x2+ax+1，求 a 的取值范围； （）证明： （x1）f（x）0 21 （12 分） （2010全国大纲版）已知抛物线 C：y24x 的焦点
7、为 F，过点 K（1，0） 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D （）证明：点 F 在直线 BD 上； （）设，求BDK 的内切圆 M 的方程 22 （12 分） （2010全国大纲版）已知数列an中，a11，an+1c （）设 c，bn，求数列bn的通项公式； （）求使不等式 anan+13 成立的 c 的取值范围 第 4页（共 20页） 2010 年全国统一高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （全国大纲版（全国大纲版） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满
8、分 60 分）分） 1 （5 分） （2010全国大纲版）复数（） AiBiC1213iD12+13i 【分析】复数的分子中利用i21 代入 3，然后化简即可 【解答】解： 故选：A 【点评】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧 2 （5 分） （2010全国大纲版）记 cos（80）k，那么 tan100（） ABCD 【分析】法一：先求 sin80，然后化切为弦，求解即可 法二：先利用诱导公式化切为弦，求出求出结果 【解答】解：法一， 所以 tan100tan80 ： 法二cos（80）kcos（80）k， 【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数
9、知识，并突出了弦 切互化这一转化思想的应用 3 （5 分） （2010全国大纲版）若变量 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最 大值为（） A4B3C2D1 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，zx2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可 第 5页（共 20页） 【解答】解：画出可行域（如图） ，zx2yyxz， 由图可知， 当直线 l 经过点 A（1，1）时， z 最大，且最大值为 zmax12（1）3 故选：B 【点评】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意 义求最值，属于基础题 4 （5 分）
10、（2010全国大纲版）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a35，a7a8a9 10，则 a4a5a6（） AB7C6D 【分析】由数列an是等比数列，则有 a1a2a35a235；a7a8a910a8310 【解答】解：a1a2a35a235； a7a8a910a8310， a52a2a8， ， 故选：A 【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识， 着重考查了转化与化归的数学思想 5 （5 分） （2010全国大纲版） （1+2）3（1）5的展开式中 x 的系数是（） A4B2C2D4 【分析】利用完全平方公式展开，利用二项展开式的通项公式求出 x 的
11、系数 【解答】解： （1+2）3（1）5（1+6+12x+8x） （1）5 第 6页（共 20页） 故（1+2）3（1）5的展开式中含 x 的项为 1C53（）3+12x10 x+12xC50 2x， 所以 x 的系数为 2 故选：C 【点评】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的 灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些 基本运算能力 6 （5 分） （2010全国大纲版）某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从 中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（） A30 种B35 种C
12、42 种D48 种 【分析】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门；A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果 【解答】解：可分以下 2 种情况：A 类选修课选 1 门，B 类选修课选 2 门，有 C31C42 种不同的选法； A 类选修课选 2 门，B 类选修课选 1 门，有 C32C41种不同的选法 根据分类计数原理知不同的选法共有 C31C42+C32C4118+1230 种 故选：A 【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想本题也 可以从排列的对立面来考虑，写出所有的减去
13、不合题意的，可以这样解：C73C33C43 30 7 （5 分） （2010全国大纲版）正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的 余弦值为（） ABCD 【分析】正方体上下底面中心的连线平行于 BB1，上下底面中心的连线与平面 ACD1所成 角，即为 BB1与平面 ACD1所成角， 直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值 【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为 O1，O，设正方体的棱长等于 1， 则 O1O 与平面 ACD1所成角就是 BB1与平面 ACD1所成角，即O1OD1， 第 7页（共 20页） 直角三角形 OO1D1中，cosO1OD1， 故选：D 【
14、点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法， 利用等体积转化求出 D 到平面 ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题 8 （5 分） （2010全国大纲版）设 alog32，bln2，c，则（） AabcBbcaCcabDcba 【分析】根据 a 的真数与 b 的真数相等可取倒数，使底数相同，找中间量 1 与之比较大 小，便值 a、b、c 的大小关系 【解答】解：alog32，bln2， 而 log23log2e1，所以 ab， c，而， 所以 ca，综上 cab， 故选：C 【点评】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与
15、对数函数的性质、实数大小 的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用 9 （5 分） （2010全国大纲版）已知 F1、F2为双曲线 C：x2y21 的左、右焦点，点 P 在 C 上，F1PF260，则 P 到 x 轴的距离为（） ABCD 【 分 析 】 设 点 P （ x0， y0） 在 双 曲 线 的 右 支 ， 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 得 第 8页（共 20页） ， 由 余 弦 定 理 得cos F1PF2 ，由此可求出 P 到 x 轴的距离 【解答】解：不妨设点 P（x0，y0）在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得 ， 由余弦定理得 cosF1PF2，即cos60 ， 解
16、得，所以，故 P 到 x 轴的距离为 故选：B 【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想， 通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力 10 （5 分） （2010全国大纲版）已知函数 f（x）|lgx|，若 0ab，且 f（a）f（b） ， 则 a+2b 的取值范围是（） ABC （3，+）D3，+） 【分析】由题意 f（a）f（b） ，求出 ab 的关系，然后利用“对勾”函数的性质知函数 f （a）在 a（0，1）上为减函数， 确定 a+2b 的取值范围 【解答】解：因为 f（a）f（b） ，所以|lga|lgb|，所以 ab（舍去） ，或，所以 a+2b 又 0ab，所以 0a1b，令，由“对勾”函数的性质知函数 f（a）在 a（0，1）上为减函数， 第 9页（共 20页） 所以 f（a）f（1）1+3，即 a+2b 的取值范围是（3，+） 故选：C 【点评】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小 题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+2b，从而错选
