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1、第 1页（共 26页） 2012 年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1 （5 分） （2012新课标）已知集合 A1，2，3，4，5，B（x，y）|xA，yA，xyA， 则 B 中所含元素的个数为（） A3B6C8D10 2 （5 分） （2012新课标）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动，每个小组由 1
2、 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（） A12 种B10 种C9 种D8 种 3 （5 分） （2012新课标）下面是关于复数 z的四个命题：其中的真命题为（） ， p1：|z|2， p2：z22i， p3：z 的共轭复数为 1+i， p4：z 的虚部为1 Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4 4 （5 分） （2012新课标）设 F1、F2是椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（） ABCD 5 （5 分） （2012新课标）已知an为等比数列，a4+a72，a5a68，则 a1+a10（
3、） A7B5C5D7 6（5 分）（2012新课标） 如果执行右边的程序框图， 输入正整数 N （N2） 和实数 a1， a2， ， an，输出 A，B，则（） 第 2页（共 26页） AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 7 （5 分） （2012新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的 三视图，则此几何体的体积为（） A6B9C12D18 8 （5 分） （2012新课标）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x
4、 轴上，C 与抛物线 y216x 第 3页（共 26页） 的准线交于点 A 和点 B，|AB|4，则 C 的实轴长为（） ABC4D8 9 （5 分） （2012新课标）已知0，函数 f（x）sin（x+）在区间，上单调 递减，则实数的取值范围是（） ABCD （0，2 10 （5 分） （2012新课标）已知函数 f（x），则 yf（x）的图象大致为 （） AB CD 11 （5 分） （2012新课标）已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，ABC 是 边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC2，则此三棱锥的体积为（） ABCD 12 （5 分） （2012新
5、课标）设点 P 在曲线上，点 Q 在曲线 yln（2x）上，则|PQ| 最小值为（） A1ln2BC1+ln2D 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13（5 分）（2012新课标） 已知向量夹角为 45， 且， 则 14 （5 分） （2012新课标）设 x，y 满足约束条件：；则 zx2y 的取值范 第 4页（共 26页） 围为 15 （5 分） （2012新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正 常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小 时）均服从正态分布 N（1000，502
6、） ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使 用寿命超过 1000 小时的概率为 16 （5 分） （2012新课标）数列an满足 an+1+（1）nan2n1，则an的前 60 项和 为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（12分）（2012新课标） 已知a， b， c分别为ABC三个内角A， B， C的对边， acosC+asinC bc0 （1）求 A； （2）若 a2，ABC 的面积为，求 b，c 18 （12 分） （2012新课标）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后 以每枝 10 元
7、的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 （1）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单 位：枝，nN）的函数解析式 （2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝） ，整理得如表： 日需求量 n14151617181920 频数10201616151310 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率 （i）若花店一天购进 16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元） ，求 X 的分布列、数 学期望及方差； （ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明 理由 19
8、 （12 分） （2012新课标）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D 是棱 AA1的中点，DC1BD 第 5页（共 26页） （1）证明：DC1BC； （2）求二面角 A1BDC1的大小 20 （12 分） （2012新课标）设抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l，AC， 已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交 l 于 B，D 两点； （1）若BFD90，ABD 的面积为，求 p 的值及圆 F 的方程； （2）若 A，B，F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点， 求坐标原点到 m，n 距离的比值 21 （
9、12 分） （2012新课标）已知函数 f（x）满足 f（x）f（1）ex 1f（0）x+ x2； （1）求 f（x）的解析式及单调区间； （2）若，求（a+1）b 的最大值 四四、请考生在第请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分，作答作答 时请写清题号时请写清题号 22 （10 分） （2012新课标）如图，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交 ABC 的外接圆于 F，G 两点，若 CFAB，证明： （1）CDBC； （2）BCDGBD 23 （2012新课标）选修 44；坐标系与参数
10、方程 第 6页（共 26页） 已知曲线 C1的参数方程是（为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立坐标系，曲线 C2的坐标系方程是2，正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为（2，） （1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 24 （2012新课标）已知函数 f（x）|x+a|+|x2| 当 a3 时，求不等式 f（x）3 的解集； f（x）|x4|若的解集包含1，2，求 a 的取值范围 第 7页（共 26页） 2012 年全国统一
11、高考数学试卷（理科年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）（新课标） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，在每小题给同的四个选项中在每小题给同的四个选项中，只有一项是符只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分） （2012新课标）已知集合 A1，2，3，4，5，B（x，y）|xA，yA，xyA， 则 B 中所含元素的个数为（） A3B6C8D10 【分析】由题意，根据集合 B 中的元素属性对 x，y 进行赋值得出 B 中所有元素，即可得 出 B 中所含有的元素个数，得出正确选项 【解答】解：由题意，x
12、5 时，y1，2，3，4， x4 时，y1，2，3， x3 时，y1，2， x2 时，y1 综上知，B 中的元素个数为 10 个 故选：D 【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合 B 中元 素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数 2 （5 分） （2012新课标）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（） A12 种B10 种C9 种D8 种 【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数 原理，将各步结果相乘即
13、可得结果 【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有2 种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有6 种选法； 第三步，为乙地选 1 名教师和 2 名学生，有 1 种选法 故不同的安排方案共有 26112 种 故选：A 【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当 分步是解决本题的关键，属基础题 第 8页（共 26页） 3 （5 分） （2012新课标）下面是关于复数 z的四个命题：其中的真命题为（） ， p1：|z|2， p2：z22i， p3：z 的共轭复数为 1+i， p4：z 的虚部为1 Ap2，p3Bp1，p2Cp2，p4Dp3，p4 【分析】由 z1i，知
14、，p3： z 的共轭复数为1+i，p4：z 的虚部为1，由此能求出结果 【解答】解：z1i， ， ， p3：z 的共轭复数为1+i， p4：z 的虚部为1， 故选：C 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 4 （5 分） （2012新课标）设 F1、F2是椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x上一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（） ABCD 【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|F2F1|，根据 P 为直线 x 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率 【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰
15、三角形， |PF2|F2F1| P 为直线 x上一点 第 9页（共 26页） 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 5 （5 分） （2012新课标）已知an为等比数列，a4+a72，a5a68，则 a1+a10（） A7B5C5D7 【分析】由 a4+a72，及 a5a6a4a78 可求 a4，a7，进而可求公比 q，代入等比数列 的通项可求 a1，a10，即可 【解答】解：a4+a72，由等比数列的性质可得，a5a6a4a78 a44，a72 或 a42，a74 当 a44，a72 时， a18，a101， a1+a107 当 a42，a7
16、4 时，q32，则 a108，a11 a1+a107 综上可得，a1+a107 故选：D 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力 6（5 分）（2012新课标） 如果执行右边的程序框图， 输入正整数 N （N2） 和实数 a1， a2， ， an，输出 A，B，则（） 第 10页（共 26页） AA+B 为 a1，a2，an的和 B为 a1，a2，an的算术平均数 CA 和 B 分别是 a1，a2，an中最大的数和最小的数 DA 和 B 分别是 a1，a2，an中最小的数和最大的数 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序 的作用是求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序， 可知，该程序的作用是：求出 a1，a2，an中最大的数和最小的数 其中 A 为 a1，a2，an中最大的数，B 为 a1，a2，an中最小的数 故选：C 【点评】本题主要考查了循环结构，解题的
