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1、学 海 无 涯 试卷第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总 2 页 1 1已知函数( ) 22 2 x f xexax=+. （1）当2a =时，求函数( )f x的极值； （2）若( )( ) 2 2g xf xx=+，且( )0g x 恒成立，求实数a的取值范围. 2已知函数 2 ( )lnf xxmx=， 2 1 ( ) 2 g xmxx=+，mR，令( )( )( )F xf xg x=+. （1）当 1 2 m =时，求函数( )f x的单调递增区间； （2）若关于x的不等式( )1F xmx恒成立，求整数m的最小值； 3已知函数)2(sin)( 2 eaaxxexf x +=，其中
2、Ra， =71828. 2e为自然对数 的底数. （1）当0=a时，讨论函数)(xf的单调性； （2）当1 2 1 a时，求证：对任意的), 0 +x，0)(xf. 4已知函数( )ln2 x m f xex =. （1）若1m =，求函数( )f x的极小值； （2）设2m，证明：( )ln20f x +. 5已知函数( )ln, ( ) x x f xxax g x e =，其中aR且0a ，e为自然常数. （1）讨论( )f x的单调性和极值； （2）当1a =时，求使不等式( )( )f xmg x恒成立的实数m的取值范围. 6已知函数 2 ( )ln1f xxxax=+，且(1)1
3、f =. （1）求( )f x的解析式； （2）证明：函数 2 ( )exyf xxx=+的图象在直线1yx= 的图象下方. 7已知函数( )( ) 32 1ln 1, 3 x f xxexmxg x x =+=. （1） 函数( )f x在点( )()1,1f处的切线与直线()1 240e xy+=平行， 求函数( )f x 的单调区间； （2） 设函数( )f x的导函数为( ) fx， 对任意的() 12 ,0,x x +， 若( )() 12 g xfx恒 成立，求m的取 值范围. 8设函数( )ln (0)f xxx x= 学 海 无 涯 试卷第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总
4、2 页 2 （）求函数 )(xf 的单调区间； （）设，)R( )()(F 2 +=axfaxx)(F x是否存在极值，若存在，请求出极值；若不 存在，请说明理由； （）当0 x 时，证明：1)(+xfex 9 （本小题满分 12 分）已知函数 2 (1) ( )ln 2 x f xx = （）求函数( )f x的单调递增区间； （）证明：当1x 时，( )1f xx； （）确定实数k的所有可能取值，使得存在 0 1x ，当 0 (1,)xx时，恒有 ()( )1f xk x 10 （本题满分 14 分）设函数)0(ln)(=xxxxf （）求函数)(xf的单调区间； （）设，)R( )()(
5、F 2 +=axfaxx)(F x是否存在极值，若存在，请求出极值；若不 存在，请说明理由； （）当0 x时证明：1)(+xfe x 学 海 无 涯 答案第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总 12 页 1 参考答案参考答案 1 （1）函数( )f x极小值为( )01f= ，无极大值； （2）(0,2e. 【解析】 试题分析： （1）当2a =时，( )( ) 222 2,222 xx f xexxfxex=+ =+，通过二次求导可知 函数( ) 2 222 x fxex=+在R上单调递增， 且( ) 00f=， 所以当0 x 时( )0fx ， 当0 x 时，( )0fx 因此函数( )f
6、 x在区间(),0上单调递减，在区间()0,+上单调递增，所以( )f x的极小值点为 ( )0f ， 无极大值点；（2） 对函数( )g x求导可得( ) 2 2 x gxea=， 分0a 和0a 讨论， 显然0a 时，( )0gx ， 函数( )g x在R上单调递增， 研究图象可知一定存在某个 0 0 x ， 使得在区间() 0 ,x 上函数 2x ye=的图象在函数yax=的图象的下方，即 2x eax不恒成立，舍去；当0a 时，函数 ( )g x 在 区 间 1 ,ln 22 a 上 单 调 递 减 ， 在 区 间 1 ln, 22 a + 上 单 调 递 增 ， ( )min 1 l
7、n0 22 a g xg = ，解得02ae. 试 题 解 析 ：（ 1 ） 函 数( ) 22 2 x f xexax=+的 定 义 域 是R, 当2a =时 ， ( )( ) 222 2 222 xx f xexxfxex=+ =+,易知函数( ) 2 222 x fxex=+的定义域是R 上单调递增函数，且( ) 00f=,所以令( )0fx ，得0 x ；令( )0fx ，得0 x ，所以函数 ( )f x在区间(),0 上单调递减，在区间()0,+上单调递增.所以函数( )f x极小值为( )01f= ， 无极大值. （2）( )( ) 22222 222 xx g xf xxexa
8、xxeax=+=+ +=，则( ) 2 2 x gxea=. 当0a 时，( )0gx 恒成立，所以函数( )g x在R上单调递增， 且数形结合易知，一定存在某个 0 0 x ，使得在区间() 0 ,x上， 函数 2x ye=的图象在函数yax=的图象的下方，即满足 2x eax的图象即( )0g x . 所以( )0g x 不恒成立，故当0a 时，不符合题意，舍去； 学 海 无 涯 答案第!异常异常的公式结尾的公式结尾页，总 12 页 2 当0a 时，令( )0gx ，得 1 ln 22 a x ；( )0gx ，得 1 ln 22 a x ； 所以函数( )g x在区间 1 ,ln 22
9、a 上单调递减，在区间 1 ln, 22 a + 上单调递增. 所以函数( )g x定义域R上的最小值为 1 ln 22 a g . 若( )0g x 恒成立，则需满足 1 ln0 22 a g ，即 ln 2 1 ln0 22 a a ea， 即 1 ln0 222 aa a ，即1 ln0 22 aa . 又因为0a ，所以1 ln00 2 a ，解得2ae，所以02ae. 综上，实数a的取值范围是(0,2e. 考点：利用导数研究函数的单调性及极值、最值. 【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值、最值，考查了分类讨论、数相结合的数 学思想， 属于难题.本题第一问研究函数的
10、极值， 通过二次求导得到导函数的最小值说明( )f x的单调性， 来判断极值点的情况；第二问是本题解答的难点，把( )0g x 恒成立转化为求函数( )g x的最小值，按 照a的符号进行讨论， 来判断( )g x的单调性， 当0a 时，( )g x单调递增， 通过找反例排除， 当0a 时，求出函数( )gx零点，判断其单调性，求出其最小值，建立不等式求解. 2 （1）(0,1)； （2）最小值为2 【解析】 试题分析： （1）当 1 2 m =时,对( )f x求导求其单调增区间； （2）先化简( )1F xmx为 ( )10F xmx+ ,恒成立问题,转化为求( )( )(1)G xF xm
11、x=的最大值来求解. 试题解析： （1） 2 1 ( )ln 2 f xxx=，0 x ， 2 11 ( ) x fxx xx =， （0 x ）. 由 ( ) 0fx 得 2 10 x又0 x ，所以01x，所以( )f x的单增区间为(0,1). （2）令 2 1 ( )( )(1)ln(1)1 2 G xF xmxxmxm x=+. 所以 2 1(1)1 ( )(1) mxm x G xmxm xx + =+= 学 海 无 涯 答案第!异常的公式结尾异常的公式结尾页，总 12 页 3 当0m时，因为0 x ，所以 ( ) 0G x 所以( )G x在(0,)+上是递增函数， 又因为 3
12、(1)20 2 Gm= +. 所以关于x的不等于( )1G xmx不能恒成立. 当0m时， 1 ()(1) ( ) m xx m G x x + = . 令 ( ) 0G x =得 1 x m =，所以当 1 (0,)x m 时， ( ) 0G x ；当 1 (,)x m +时， ( ) 0G x ， 因此函数( )G x在 1 (0,)x m 是增函数，在 1 (,)x m +是减函数. 故函数( )G x的最大值为 11 ()ln 2 Gm mm =. 令 1 ( )ln 2 h mm m =，因为 1 (1)0 2 h=， 1 (2)ln20 4 h=. 又因为( )h m在(0,)m+
13、上是减函数，所以当2m时，( )0h m ， 所以整数m的最小值为 2. 考点：1.导数与单调性；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题 【思路点晴】本题第一问是基本的求单调区间问题,只需按求函数单调性的方法来求解就可以.第二问是恒 成 立 问 题 , 我 们 一 般 都 需 要 对 已 知 条 件 进 行 化 简 , 如 本 题 我 们 就 化 简( )1F xmx为 ( )10F xmx+ ,化简后右边为零,我们就可以转化为求( )( )(1)G xF xmx=的最大值来求解. 借助导数工具，判断函数大致图象并结合零点相关性质求解. 3 （1）函数)(xf在R上为减函数； （2）证明见解析
14、. 【解析】 试题分析： （1）对函数)(xf求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数)(xf的单调性； （2）对任 意的), 0 +x，0)(xf等价于对任意的), 0 +x， 2 sin20 xaxae+ ,再构造函数 eaaxxxg+=2sin)( 2 ,求导,利用导数,求出( )g x的最大值小于零. 试题解析：解： （1）当0=a时，)(sin)(exexf x =，Rx， ) 4 sin(2)cos(sin)(exeexxexf xx +=+= ， 当Rx时，2) 4 sin(2+ x，0)( x f. )(xf在R上为减函数. 学 海 无 涯 答案第!异常的公式结尾异常的公式
15、结尾页，总 12 页 4 （2）设eaaxxxg+=2sin)( 2 ，), 0 +x，axxxg2cos)(=， 令axxxgxh2cos)()(=，), 0 +x，则axxh2sin)(=， 当1 2 1 a时，), 0 +x，有0)( x h， )(xh在), 0 +上是减函数，即)(x g 在), 0 +上是减函数， 又01)0(=g，0 2 2 2 2 2 ) 4 ( = ax g， )(x g 存在唯一的) 4 , 0( 0 x，使得02cos)( 000 =axxxg， 当), 0( 00 xx 时，0)( x g，)(xg在区间), 0( 0 x单调递增； 当),( 00 +
16、xx时，0)( x g，)(xg在区间),( 0 +x单调递减， 因此在区间), 0 +上eaaxxxgxg+=2sin)()( 2 000max ， 02cos 00 = axx， 00 cos 2 1 x a x =，将其代入上式得 ea a xx a eax a xxg+=+=2 4 1 sinsin 4 1 2cos 4 1 sin)( 00 2 0 2 0max ， 令 0 sin xt =，) 4 , 0( 0 x， 则) 2 2 , 0(t， 即有ea a tt a tp+=2 4 1 4 1 )( 2 ，) 2 2 , 0(t， )(tp的对称轴02 =at，函数)(tp在区间) 2 2 , 0(上是增函数，且1 2 1 a， )
