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1、上海市虹口区2018 届高三二模数学试卷 一. 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知(, Aa，1,2B，且AB，则实数a的范围是 2. 直线(1)10axay与直线420 xay互相平行，则实数a 3. 已知(0, )， 3 cos 5 ，则tan() 4 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、，则 222 coscoscos 5. 已知函数 2 0 ( ) 210 x xx f x x ，则 11 ( 9)ff 6. 从集合 1,1,2,3随机取一个为m，从集合 2, 1,1,2随机取一个为n，则方程
2、22 1 xy mn 表示双曲线的概率为 7. 已知数列 n a是公比为q的等比数列，且 2 a、 4 a、 3 a成等差数列，则q 8. 若将函数 6 ( )f xx表示成 236 01236 ( )(1)(1)(1)(1)f xaaxaxaxax，则 3 a的值等于 9. 如图，长方体 1111 ABCDA BC D的边长 1 1ABAA， 2AD，它的外接球是球O，则A、 1 A这两点的球面 距离等于 10. 椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的 内接矩形的面积的最大值为 11. x是不超过x的最大整数，则方程 271 (2 )2 0 44 xx 满足1x的所有实数解是 12.
3、函数( )sinf xx，对于 123n xxxx且 12 ,0,8 n x xx（10n），记 1223341 |()() |()() |()() |()() | nn Mf xf xf xf xf xf xf xf x，则M 的最大值等于 二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分） 13. 下列函数是奇函数的是（） A. ( )1f xx B. ( )sincosf xxx C. ( )arccosf xx D. 0 ( ) 0 xx f x xx 14. 在 RtABC中，ABAC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运 动且满足PCk BC，当PMPN取得最小值
4、时，实数k的值为（） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 8 15. 直线:10l kxyk与圆 22 8xy交于A、B两点， 且|4 2AB，过点A、B 分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN等于（） A. 2 2 B. 4 C. 4 2 D. 8 16. 已知数列 n a的首项 1 aa，且04a， 1 44 64 nn n nn aa a aa ， n S是此数列的前 n 项和，则以下结论正确的是（） A. 不存在a和n使得2015 nS B. 不存在a和n使得2016nS C. 不存在a和n使得2017 n S D. 不存在a和n使得2018 n S 三. 解答题（
5、本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1ABAC， 2 BAC，高等于 3， 点 1 M、 2 M、 1 N、 2 N为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥 112AAM N的体积； （2）求异面直线 12 A N、 1 AM所成的角的大小. 18. 已知ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，cossinzAiA（i是 虚数单位）是方程 2 10zz的根，3a. （1）若 4 B，求边长c的值； （2）求ABC面积的最大值. 19. 平面内的 “向量列” n a，如果对于任意的正整数n，均有 1n
6、n aad，则称此 “向 量列”为“等差向量列”，d称为“公差向量”，平面内的“向量列” n b，如果对于 任意的正整数n，均有 1nn bq b（0q），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 q称为“公比”. （1）如果“向量列” n a是“等差向量列” ，用 1 a和“公差向量”d表示 12n aaa； （2）已知 n a是“等差向量列” ， “公差向量”(3,0)d， 1 (1,1)a，(,) nnn axy， n b 是 “等比向量列” ， “公比”2q， 1 (1,3)b，(,) nnn bm k， 求 1122nn a babab. 20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为
7、椭圆的“切线” ，已知椭圆 2 2 :1 2 x Cy， 点( , )M m n是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线” . （1）证明：过椭圆C上的点(, )M m n的“切线”方程是1 2 mx ny； （2）设A、B是椭圆C长轴上的两个端点，点(, )M m n不在坐标轴上，直线MA、MB分 别交y轴于点P、Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ 的中点； （3）点( , )M m n不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为 1 F和 2 F，判断过M的椭圆C的 “切线”l与直线 1 MF、 2 MF所成夹角是否相等并说明理由. 21. 已知函数 3 (
8、 )f xaxxa（aR，xR）， 3 ( ) 1 x g x x （xR）. （1）如果 3 4 2 x是关于x的不等式( )0f x的解，求实数a的取值范围； （2）判断( )g x在 3 4 ( 1, 2 和 3 4 ,1) 2 的单调性，并说明理由； （3）证明：函数( )f x存在零点q，使得 4732n aqqqq成立的充要条件是 3 4 3 a. 上海市虹口区2018 届高三二模数学试卷 一. 填空题（本大题共12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知(, Aa，1,2B，且AB，则实数a的范围是 【解析】 画数轴，1a 2. 直线(1
9、)10axay与直线420 xay互相平行，则实数a 【解析】 由 2 4(1)02aaa 3. 已知(0, )， 3 cos 5 ，则tan() 4 【解析】 4 tan 3 ， 1 tan() 47 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为、，则 222 coscoscos 【解析】 设三边为a、b、c，对角线为d， 2222 abcd 22 2 2 cos ab d ， 22 2 2 cos bc d ， 22 2 2 cos ca d ， 222 coscoscos2 也可取正方体的特殊情况去求 5. 已知函数 2 0 ( ) 210 x xx f x x ，则 11
10、 ( 9)ff 【解析】 1 2 ,0 ( ) log (1),0 xx fx xx ， 1 ( 9)3f， 111 ( 9)(3)2fff 6. 从集合 1,1,2,3随机取一个为m，从集合 2, 1,1,2随机取一个为n，则方程 22 1 xy mn 表示双曲线的概率为 【解析】 32 1 21 4 42 7. 已知数列 n a是公比为q的等比数列，且 2 a、 4 a、 3 a成等差数列，则q 【解析】 2 234 2210aaaqq，1q或 1 2 q 8. 若将函数 6 ( )f xx表示成 236 01236 ( )(1)(1)(1)(1)f xaaxaxaxax，则 【解析】 6
11、6 (1)1xx， 3 3620aC 9. 如图，长方体 1111 ABCDA BC D的边长 1 1ABAA， 2AD，它的外接球是球O，则A、 1 A这两点的球面 距离等于 【解析】 外接球半径为1， 3 ，球面距离为 3 10. 椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】 根据本公众号“上海初高中数学”2018 年 3 月 28 日推文中的性质，最大值为 2 mn 11. x是不超过x的最大整数，则方程 2 71 (2 )2 0 44 xx 满足1x的所有实数解是 【解析】 当01x，2 1 x ， 2 1 (2 )2 2 x x；当0 x，2 0 x
12、 ， 2 1 (2 ) 4 x ， 1x，满足条件的所有实数解为0.5x或1x 12. 函数( )sinf xx，对于 123n xxxx且 12 ,0,8 n x xx（10n），记 1223341 |()() |()() |()() |()() | nn Mf xf xf xf xf xf xf xf x，则M 的最大值等于 【解析】 在0,8有 4 个周期，最大值为4416 二. 选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分） 13. 下列函数是奇函数的是（） A. ( )1f xx B. ( )sincosf xxx C. ( )arccosf xx D. 0 ( ) 0 xx f
13、 x xx 【解析】 由()( )fxf x，选 B 14. 在 RtABC中，ABAC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运 动且满足PCk BC，当PMPN取得最小值时，实数k的值为（） A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 8 【解析】 建系，设( ,3)P xx，(1,0)M，(2,0)N， 2 2911PMPNxx ，0,3x， 9 4 x时取到最小值，此时 1 4 PC k BC ，选 C 15. 直线:10l kxyk与圆 22 8xy交于A、B两点， 且|4 2AB，过点A、B 分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN等于（） A. 2 2 B. 4
14、 C. 4 2 D. 8 【解析】AB长为直径，:10l kxyk经过原点，1k，28MNAB，选 D 16. 已知数列 n a的首项 1 aa，且04a， 1 44 64 nn n nn aa a aa ， n S是此数列的前 n 项和，则以下结论正确的是（） A. 不存在a和n使得2015 n S B. 不存在a和n使得2016 n S C. 不存在a和n使得2017 n S D. 不存在a和n使得2018 n S 【解析】 令 1 1a，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除 B 、C；令 1 2a，则所有奇 数项都为2，偶数项都为4，排除 D，故选 A. 三. 解答题（本大题共5 题，
15、共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，1ABAC， 2 BAC，高等于 3， 点 1M、2M、1N、2N为所在线段的三等分点. （1）求此三棱柱的体积和三棱锥 112 AAM N的体积； （2）求异面直线 12 A N、 1 AM所成的角的大小. 【解析】 （1） 13 3 22 V； 112112 131 1 322 AAM NMA AN VV （2）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为 3 18. 已知ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，cossinzAiA（i是 虚数单位）是方程 2 10zz的根，3a. （1）若
16、 4 B，求边长c的值； （2）求ABC面积的最大值. 【解析】 （1）解为 13 22 i， 3 A，由正弦定理6b， 63 2 2 c； （2）画出ABC的外接圆可知，3ABAC时，面积最大，为 9 3 4 . 19. 平面内的 “向量列” n a，如果对于任意的正整数n，均有 1nn aad，则称此 “向 量列”为“等差向量列”，d称为“公差向量”，平面内的“向量列” n b，如果对于 任意的正整数n，均有 1nn bq b（0q），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 q称为“公比”. （1）如果“向量列” n a是“等差向量列” ，用 1 a和“公差向量”d表示 12n aaa； （2）已知 n a是“等差向量列” ， “公差向量
