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1、环形或有孔磁场中运动电荷的“几何分析”带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点，在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题. 带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛伦兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的“圆”及解析几何知识. 环形或有孔磁场中运动电荷的问题和圆形有界磁场中带电粒子的运动问题在一定程度上具有“形异质同”的相关性，圆形有界磁场中带电粒子运动问题的解题思路可以采用“拿来主义”而参考借鉴. 在有界磁场中，带电粒子在磁场中运动可能不是一个完整的圆，而仅仅是一段圆弧，这时对带电粒子运动的“几何分析”则往往成为解题的关键. 带
2、电粒子以一定速度垂直射入匀强磁场中，洛伦兹力充当向心力，粒子将做匀速圆周运动. 解决带电粒子在圆形匀强磁场中的偏转问题的基本思路是：（1） 画轨迹根据初速度和受力方向画；（2） 定圆心根据两条直径相交在圆心定；（3） 找关系找力学关系、线度关系、角度关系；（4） 求变量求半径或长度、周期或时间、其他物理量.解题时画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）. 偏转角度可由tan求出，经历时间由t=得出. 注意：带电粒子运动具有对称性，射出线的反向延长线过磁场圆的圆心.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的三个基本公式是：（1） 洛伦兹力提供向心力qvB=；（2） 径迹半径r=；（3） 周期T=（T
3、与r，v无关）.带电粒子垂直射入有边界的匀强磁场，其运动轨迹常是一段圆弧，这时对粒子运动轨迹的“几何分析”往往成为解题的关键，而能否确定粒子轨迹圆的圆心，又是“几何分析”的必要前提. 寻找圆弧的圆心，一种思路是：已知运动粒子在磁场边界射入的速度方向和射出的速度方向时，应根据磁感应强度B的方向和物体运动速度v的方向，运用左手定则，确定射入点和射出点的洛伦兹力的方向，则圆心就在两条洛伦兹力延长线的交点上（如图1）. 另一种思路，由几何知识（圆心是任意两条半径的交点）和物理知识（曲线运动的瞬时速度沿轨迹切线方向）推知“两点瞬时速度的垂线的交点就是圆心”.有了圆心，半径就有了，我们就可以依赖三角形的知
4、识看位置和半径关系. 然后按部就班贯彻“找圆心找半径三角关系定位置”的解题思想. 我们可以认识到：带电粒子在有界磁场中运动的“几何分析”是突破物体运动图景的关键，“几何分析”也是正确地运用数学知识的前提. 以下借鉴上述有界磁场中解决问题的思路，针对环形或有孔磁场中运动电荷的问题进行分析和研究，归纳、总结相关的特点和规律.例1 （2011年高考广东卷题35）如图2a所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1R0，R23R0，一电荷量为+q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力.（1） 已知粒子从外圆上以
5、速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小；（2） 若撤去电场，如图2（b）,已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；（3） 在图2b中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？解析：（1） 由动能定理：Uq=mv12-mv02 得v0=.（2） 如图3：粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则r2=2（）2 B1qv2=m 由得B1=，T=r t=T 由得t=r.（3） 由B2qv3=m 由图4可知，B越小，R越大. 与磁场边界相切的圆的最大半径为R所以B
6、2.例2 核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）. 如图所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内. 设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4107C/kg，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度 试计算：（1） 粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2） 所有粒子不能穿越磁场的最大速度解：（1） 要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不
7、能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示由图可知r12+R12=（R2-r1）2，解得r10.375m，又由Bqv1=m，得v1=1.5107m/s.所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为v1=1.5107m/s（2） 当粒子以v2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以v1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图所示由图中知r2=0.25m，由Bqv2=m得v2=1.0107m/s，所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度v21.0107m/s.例3 如图8所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向外的
8、匀强磁场，磁感应强度为B. 圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m，带电量为q，假设放出粒子速度方向都和纸面平行.（1） 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60，要想使该粒子经过磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？（2） 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解：（1） 如图9所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1=.由qv1B=m，得v1=.（2） 设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由图10几何关系（2r-R2）2R22+r2，得R2r，由qv2B=m，得v2=.综上所述，运动的带电粒子垂直进入环形或有孔磁场中，若仅受洛伦兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识作出“几何分析”，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间并不太难. 带电粒子在环形或有孔磁场中运动问题，实质上就是利用磁场控制带电粒子的运动方向. 解决这类问题的关键是找到带电粒子运动轨迹的圆心，依据题意画出示意图，再综合运用物理规律和数学知识求解.
