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1、点击“反证法”有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可以迎刃而解.数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效时，反证法会助人一臂之力. 反证法是数学证明中的一种重要方法，它是从否定命题的结论出发，通过正确的逻辑导出矛盾，从而证明了原命题的正确性的一种重要方法.反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的.在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一.一、知识归纳1. 用反证法证明命题的一般步骤如下：反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；结论：由矛盾判定假设不正确，
2、从而肯定命题的结论正确.2. 反证法一般常用于有下述特点的命题的证明：结论本身以否定形式出现；结论是“至少”“至多”“唯一”“都是”等形式；结论涉及“存在或不存在”，“有限或无限”等形式；结论的反面比原结论更具体或更易于证明.二、学习要点1. 用反证法证题的关键是“反设”，对一些特殊结论的反设见下表：2. 反证法证题的难点是如何引出“矛盾”，用反证法证明命题“若p则q”时，引出矛盾的形式有下面三个方面：由假设结论q不成立，经过推理论证得到条件p不成立，即与原命题的条件矛盾，这种情况实际上是证明了命题的“逆否命题”正确；由假设结论q不成立，经过推理论证得到结论q成立，即由“非q为真”推出了“q为
3、真”，形成了自相矛盾；由假设结论q不成立，经过推理论证得到一个恒假命题，即与某个“公理、定义、定理、性质”矛盾，或与某个显然的概念、结论矛盾.但在实际应用时，究竟如何引出矛盾必须根据命题本身的数学内容进行探索，有时很难事先估计如何引出矛盾或是否能用反证法证明成功，正是由于这些难点，所以在高考中反证法出现得较少.3. 反证法的逻辑依据.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，
4、得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.本文就反证法思想在解题中的应用加以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.三、应用1. 在简易逻辑中的应用.例1设x，yR ，P：x+y8，q：x2或 y6，则p是q的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件分
5、析：直接判断总感觉模凌两可，若从反证法的思想考虑逆否命题，简洁清晰.解析：因为“？劭qx=2 且y=6”是“？劭px+y=8 ”的充分不必要条件，所以p是q充分不必要条件.点评：在简易逻辑中，当原问题是否定形式的命题，且直接证明或求解较为困难时，考虑逆否命题可化难为易，简洁清晰.2. 在平面向量中的应用.例2. 设A1，A2，A3，A4，A5是空间中给定的5个不同的点，则使 + + + + = 成立的点M的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 5 D. 10分析：先用向量加法意义说明这样的点是存在的，再用反证法证明这样的点是唯一的.解析：由 + + + + = ，得 = （ + + + + ）
6、，由向量加法法则知存在这样的点M；下面用反证法证明点M的个数是唯一的，假设满足条件的点除M外还有点N，那么 + + + + = ， + + + + = ，-得5 = ，则N点与M点重合，与假设矛盾.所以满足条件的点M只有一个.点评：涉及唯一性问题的证明时，利用反证法可以有效的突破解题困境，使问题处理的简洁流畅.3. 在数列中的应用.例3. 已知数列an和bn满足：a1= ，an+1= an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中 为实数，n为正整数.（1）对任意实数 ，证明数列an不是等比数列；（2）略.分析：先假设结论反面成立，再由前三项是等比数列推出矛盾.证明：假设an是等比数
7、列，则a22=a1a3又题知：a2= -3，a3= a2-2= -4，（ -3）2= （ -4），9=0，矛盾，故假设不成立，即an不是等比数列.点评：数列中涉及到证明“不是等比数列，不是等差数列”这类题型时，利用反证法证明可直捣黄龙.例4. 已知数列an满足：a1= ， = ，anan+1bt，2bs=br+bt， 2? （ ）s-1= （ ）r-1+ （ ）t-1，两边同乘3t-121-r，化简得3t-r+2t-r=2?2s-r3t-s，r 点评：借助反证法思想，乍看繁难的问题，利用反证法有效的突破了解题困境，一气呵成.4. 在函数中的应用.例5. 设f（x）=x|x+m|+n，m，n为常
8、数，讨论f（x）的奇偶性并说明理由.分析：容易观察m， n都是0时，f（x）是奇函数，利用定义容易证明； m，n至少有一个不为0时，f（x）是非奇非偶函数，利用反证法分两类情况证明.解析： 若m=n=0，则f（-x）=-xx=-f（x），故f（x）为奇函数；若m2+n20，则f（x）是非奇非偶函数，下用反证法证明：假设f（x）是奇函数，则f（0）=n=0， f（-1）=-m-1=-f（1）=m+1， （m-1）2=（m+1）2，m=0，这与m2+n20矛盾，故f（x）不是奇函数；假设f（x）是偶函数，则f（-1）=-|m-1|+n=|m+1|+n，|m+1|+|m-1|=0，这与|m+1|+|
9、m-1|2矛盾，故f（x）不是偶函数. 综合上述，f（x）是非奇非偶函数.点评：函数中涉及到“不是奇（偶）函数，不是单调函数”这类问题的证明时，往往可用反证法将问题解决得干净彻底.例6. 给定实数a，a0且a1，设函数y= （其中xR且x ），证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴.分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设.证明：设M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函数图像上任意两个不同的点，则x1x2，假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，即 = ，整理得a（x1-x2）=x1-x2. x1x2， a=1， 这与已知“a1”矛盾，
10、因此假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.5. 在立体几何中的应用.例7. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.证明： 假设AC平面SOB， 直线SO在平面SOB内， ACSO. SO底面圆O， SOAB， SO平面SAB，平面SAB底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.点评：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.6. 在不等式中的应用.例8. 已知a
11、1，a2，a3，a10为大于0的正实数，且a1+a2+a3+a10=30，a1a2a3a1021. 求证：a1，a2，a3，a10这10个数中必有一个数在（0，1）之间.分析：先假设这10个数都大于1，再利用换元法和不等式的性质推导出与已知条件矛盾.证明：假设ai1（1i10，iN？鄢），令bi=ai-10，则由a1+a2+a10=30得b1+b2+b10=20，又a1a2a10=（b1+1）（b2+1）（b10+1）=1+（b1+b2+b10）+（b1b2b10）1+（b1+b2+b10）=21，这与条件a1a2a100，b0，（ ）A. 若2a+2a=2b+3b，则abB. 若2a+2a=
12、2b+3b，则aC. 若2a-2a=2b-3b，则abD. 若2a-2a=2b-3b，则a分析：本题将常见不等式题目中的条件和结论进行了交换，直接证明感觉无从下手，采用反证法问题可以迎刃而解.解析：对于A选项，利用反证法，假设ab，则2a2b，2a2b3b，故2a+2a2b+3b，即2a+2a2b+3b这与条件矛盾，故假设不成立，即选项A正确.点评：对于常见不等式问题的逆命题，利用反证法可以化难为易.例10. 设 a，b为正实数.现有下列命题：若a2-b2=1，则a-b1；若 - =1，则a-b1；若 | - |=1，则|a-b|1；若|a3-b3|=1，则|a-b|1故错误；对于，令a=4，b=1，显然满足条件，但a-b=31故错误；对于，假设a-b1，a，b0，a+ba-b1，a2-b2=（a+b）（a-b）1，即a2-b21，与条件矛盾，假设不成立，故a-b0，a2+ab+b2（a-b）2= |a-b|21，|a3-b3|=|a-b|a2+ab+b2|1，与条件矛盾，假设不成立，故|a-b|1即正确.点评：本题主要考查反证法在不等式中的应用，利用反证法可以扭转不利的局面，从而使问题快速获解.7. 在三角函数中的应用.例11. 存不存在0解析：不存在.否则有cosx-sinx= -tanx= ，
