《第十五代数系统AlgebraicSystem教学文稿》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十五代数系统AlgebraicSystem教学文稿（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 Peking University,1,第十五章 代数系统(Algebraic System),1 二元运算及其性质 2 代数系统、子代数和积代数 3 代数系统的同态和同构 4 同余关系和商代数 5 代数, Peking University,2,15.2 代数系统, Peking University,3,定义15.9,代数系统：是一个三元组V=, 其中 A是一个非空的对象集合，称为V的载体； 是一个非空的运算集合 K是代数常数的集合，KA, Peking University,4,代数系统的表示, Peking University,6,代数系统实例,例：Peano系统,Peano公理：
2、 1) eS 2) S在下封闭 3) eran 4) 单射： (x) = (y) x = y 5) B ( BS eB B在下封闭 B =S) 前两条保证了构成代数系统 后三条是系统特有的公理, Peking University,7,有穷半自动机,状态集Q=0,1,2,3, 字母表V=a，b, 状态转移函数:QVQ,0,1,b,a,a,b,2,3,b,a,a,b, Peking University,8,代数系统的分类 -同类型与同种的代数系统,同类型的：构成成分相同（具有相同的运算数目；运算具有相同的元数） 同种的：构成成分与公理都相同 公理：交换、结合，幂等；分配、吸收；含e,每个元素可
3、逆； 实例：, , , , 公理1：o交换,结合,含幺，每个元素可逆；*结合；*对o分配。 , , 与是同种的 公理2：o与*交换、结合、幂等、吸收； , 与是同种的, Peking University,9,重新强调课程的特点,代数结构，并不是要研究每一个具体的代数系统，而是通过规定集合及集合上的运算以及运算性质来规范每一种代数系统，这个代数系统是很多具有相同构成成分和运算性质的实际代数系统的模型或抽象。针对这个模型研究它的结构和内在特征，然后应用到每个具体的代数系统中去，这种研究方法是抽象代数的基本方法。, Peking University,10,子代数 (Algebraic Subsy
4、stem), Peking University,11,实例：子代数与原代数系统的公理有关.,V=， 例(1) 公理： +满足结合律，单位元存在， 每个元素可逆 子代数为：nZ=nk|kZ, nN， n=0 平凡的真子代数 n=1 平凡子代数 n1 非平凡的真子代数 例(2) 公理：+ 结合律 子代数为：nZ（nN），N, Z+等., Peking University,12,积代数(Product Algebra), Peking University,13,例15.15,例：V1=,V2=, 则V1 V2= 求： 见书(p229), Peking University,14,积代数的性质,
5、积代数能够保持因子代数的如下性质： 算律：交换律、结合律、幂等律、 分配律、吸收律 特异元素：单位元、零元、幂等元、可逆元素及其逆元 消去律不一定能够保持， 反例：V1=,V2=: p230, Peking University,15,证明,保持交换律 任取,AB oi= =oi 单位元 oi= oi=, Peking University,16,例15.16,V1=, V2=,V1和V2的积代数为V1V2， 其中 = , 但不等于, Peking University,17,积代数说明,积代数与因子代数是同类型的 系统公理不含消去律，积代数与因子代数是同种的； 系统公理含消去律，不保证积代数
6、与因子代数是同种的. 积代数可以推广到有限多个同类型的代数系统 直积分解是研究代数结构的有效手段 笛卡尔积是构造同种离散结构的有效手段, Peking University,18,复习要点：,代数系统的表示方法 如何判断代数系统的性质 子代数、积代数构成方式 子代数、积代数与原代数之间的关系, Peking University,19,15.3 代数系统的同构与同态,一、同态映射的概念(Homomorphism) 1. 同态映射定义 2. 同态映射分类 3. 实例 二、 同态映射的性质 1. 同态映射的合成仍旧是同态映射 2. 同态像是映到代数系统的子代数 3. 同态像中保持原有代数系统的运算
7、性质, Peking University,20,单值的二元关系称为函数或映射 单值: xdomF, y,zranF, xFy xFz y=z,x,y,z,非单值,单值, Peking University,21,函数性质,设 F:AB, 单射(injection): F是单根的 满射(surjection): ranF=B 双射(bijection): F既是单射又是满射, 亦称为一一映射(1-1 mapping).,单射,满射, Peking University,22,有各种各样的代数系统，但是，有些代数系统表面上看 不同，实际它们运算的性质相似、或完全一样。这就是 代数系统间的同态、同
8、构问题。 例 ：是正实数R+上的乘法 ； ： 是实数R上的加法+。 表面上看这两个代数系统完全不同，实际它们运算的性 质却完全一样，都满足：可交换、可结合、有幺元、每 个元素可逆。 那么如何反映它们间的相同性呢？ 通过一个映射 f: R+R 任何xR+, f(x)=lgx (是双射),代数系统的同态与同构, Peking University,23,同态映射的定义(Homophormism), Peking University,24, Peking University,25,同态映射的定义（续）, Peking University,26,例15.18,设V1 = , V2 = , Zn=
9、0,1, n-1, 为模n加法，定义f:ZZn, f(x)=(x) mod n,则f为V1到V2的同态 f(x+y) =(x+y)mod n ？= f(x) f(y) = (x mod n) (y mod n), Peking University,27,同态映射的分类, Peking University,28,定义15.16,设 是同类型的代数系统，函数f:AB是V1到V2的同态, (1)若f:AB是满射的，则f是满同态 V1V2 (2)若f:AB是单射的，则f是单同态 (3)若f:AB是双射的，则f是同构 V1V2 (4)若V1= V2 ，则f是自同态。若f又是双射的，f是自同构。 如果
10、两个代数系统是同构的，从抽象代数的观点看，它们没有区别，是同一个代数系统。, Peking University,29,同态映射的实例,例15.19: V = , 定义fc:ZZ, fc(x) = cx,c为给定整数。证明： fc是自同态。 证明：任意x,y有： fc(x+y)=c(x+y) = cx+cy = fc(x)+fc(y) 所以fc是自同态。 c = 0, fc(x)=0, 零同态 c = 1， fc(x)= x 自同构 其它c, 单自同态, Peking University,30,同态映射的实例（参考例15.25）,例：V = , fp:Z6Z6, fp(x) = (px) m
11、od 6, p = 0,1,2,3,4,5 p = 0, f0 零同态 p = 1, f1恒等映射，自同构 p = 2, f2 = , p = 3, f3 = , p = 4, f4 = , p = 5, f5 = , 自同构 可以推广到fp:ZnZn, 存在n个自同态 fp(xy) = (p(xy)modn = (px)modn(py)modn = fp(x)fp(y), Peking University,31,同态性质,*同态的合成仍旧是同态 同态像是映到的代数系统的子代数 满同态映射（在同态像中）保持原代数系统的下述性质： 交换、结合、幂等、分配、吸收 单位元、零元、逆元 消去律不一定
12、保持, Peking University,32,*同态的合成仍旧是同态, Peking University,33,.代数系统间的同构关系是等价关系,1.有自反性：任何代数系统 , 有XX。 证明： 因为有双射 IX:XX, 任取x1 ,x2X，有 IX(x1x2)= x1x2 =IX(x1)IX(x2) 所以 XX。 2.有对称性：任何代数系统 , 如果有XY 则必有YX。 证明：因有XY，有双射 f:XY, 任取x1 ,x2X，有 f(x1x2)= f(x1) f(x2) 因 f是双射，有 f-1 :YX, 任取y1 ,y2Y 因 f :XY是满射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1
13、), y2=f(x2) x1=f-1(y1) , x2=f-1(y2) f-1(y1 y2)=f-1(f(x1) f(x2)= f-1(f(x1x2)= f-1f(x1 x2) = IX(x1x2)=x1x2 =f-1(y1)f-1(y2) YX, Peking University,34,3.有传递性：任何代数系统 , 如果有XY 和 YZ，则必有 XZ 。 证明：因有XY，有双射 f:XY, 任取x1 ,x2X，有 f(x1 x2)= f(x1) f(x2) 因有YZ ，有双射 g:YZ, 任取y1 ,y2Y，有 g(y1 y2)= g(y1)g(y2) 又已知双射 gf :XZ, 任取x
14、1 ,x2X， 令h=gf h(x1x2)=gf(x1x2)=g(f(x1x2) = g(f(x1) f(x2) ) = g(f(x1) g(f(x2) = gf(x1) gf(x2) = h(x1)h(x2) XZ 是个等价关系。, Peking University,35,等价(equivalence)关系定义,等价关系: 设 RAA 且 A, 若R是自反的, 对称的, 传递的,则称R为等价关系, Peking University,36,自反性(reflexivity),设A为一集合, RAA, 对于任意的xA,均有xRx, 说R是A上自反的(reflexive)二元关系 x( xA x
15、Rx ). R是非自反的 x( xA xRx), Peking University,37,例如，集合A上的全域关系EA、恒等关系IA、小于等于关系LA、整除关系DA都是A上的自反关系；包含关系(R )、平面几何中的全等和相似关系也是自反关系。,自反性(举例), Peking University,38,对称性(symmetry),对于任意的x,yA,若xRy,yRx,则称R为A上对称的(symmetric)二元关系 xy(xAyAxRyyRx). R非对称 xy(xAyAxRyyRx), Peking University,39,恒等关系IA、全域关系EA是A上的对称关系。 同学关系、几何中
16、的相似关系是对称关系。,对称性(举例), Peking University,40,传递性(transitivity),设A为一集合, RAA, 对于任意的x,y,zA,若xRy且yRz, 则xRz,则称R为A上传递的(transitive)二元关系 xyz(xAyAzAxRyyRzxRz). R非传递 xyz(xAyAzAxRyyRzxRz), Peking University,41,例如，A上的全域关系、恒等关系和空关系都是A上的传递关系。小于关系，小于等于关系、整除关系、包含关系和真包含关系也是相应集合上的传递关系。,传递性(举例), Peking University,42,同态像是映到代数系统的子代数,#, Peking Universi
