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1、第三章 中值定理与导数的应用,第 一 节 中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,证,讨论：,不妨设,因而,下证：,证毕。,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,下面举例说明。,不满足条件(1).,不满足条件（2）,不满足条件（3）,例1,证,由零点定理得：,矛盾!,注：,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,证,由已知得：,且,即,根据罗尔定理，得：,使得,即,即,证毕。,拉格朗日中值公式,注：,从而,记,则,这样，拉格郎日公式可表示为,此式称为有限增量公式.,注: 拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的
2、增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,推 论,证（1）,解,定理,证,证毕,例3,证,即,例4,证,三、柯西(Cauchy)中值定理,证,作辅助函数,即,即,证毕。,注,注,从几何上看，,柯西中值定理就是拉格郎日中值定理的参数形式。,即:,拉格朗日中值公式,例5,分析:,证,即,即,即,证毕,例6,证,分析:,结论可变形为,四、小结,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系:,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,P134习题3-1, 2, 5, 8, 11, 12，14.,作业,f i n,
