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1、合 中 高 05 级 复 习 用 资 料第 1 页 共 20 页高 中 数 学基本知识基本思想基本方法一、集合与简易逻辑1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？ ；2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，
2、当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若 ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命B题，一般运用等价法；6.（1）含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集（非空子集）个数为 2n1；（2） ;BABA（3） ;)(,)( BCACCIIIIII 二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知 f(x)的定
3、义域为a，b,其复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出即可；若已知 fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域（即 f(x)的定义域） ；（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（1）若 f(x)是偶函数，那么 f(x)=f(x)= ;)(xf（2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数） ；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0 或合 中 高 05 级 复 习 用 资 料第 2 页 共 20 页（f(x) 0）;1)(xf(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5
4、）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像 C1 与 C2 的对称性，即证明 C1 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 C2 上，反之亦然；（3）曲线 C1：f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=x+a) 的对称曲线 C2 的方程为f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0);（4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2 方程为：f(2ax,2by)=0;（5）若函数 y=f
5、(x)对 xR 时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则 y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；（6）函数 y=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x= 对称；2ba4.函数的周期性(1)y=f(x)对 xR 时，f(x +a)=f(xa) 或 f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,则y=f(x)是周期为 2a 的周期函数；（2）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函数；（3）若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为4a的周期函数；（4）若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f
6、(x)是周期为 2 的周期函ba数；（5）y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2 的周期函数；ba（6）y=f(x)对 xR 时， f(x+a)=f(x)(或 f(x+a)= ，则 y=f(x)是)(1xf周期为 2 的周期函数；5.方程 k=f(x)有解 kD(D 为 f(x)的值域) ；合 中 高 05 级 复 习 用 资 料第 3 页 共 20 页6.af(x) af(x) max,; af(x) af(x) min;7.（1） (a0,a1,b0,nR +);nblogl(2) l og a N= ( a0,a1,b0,b1);Nbl(
7、3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆;(4) a log a N= N ( a0,a1,N0 );8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象；10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（ 5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函
8、数，设 f(x)的定义域为 A，值域为 B，则有 ff-1(x)=x(xB),f -1f(x)=x(xA).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题： ；)0f(baf()bu(a0)()( 或）或xhugf14.掌握函数 的图象和性质；0);cxycbacxy函数x(b ac 0)）(a合 中 高 05 级 复 习 用 资
9、料第 4 页 共 20 页定义域 ),(),(c ),0(),(值域 ,a,2,a奇偶性非奇非偶函数 奇函数单调性当 b-ac0 时:分别在上单调),(,(c递减；当 b-ac0,b0)时要ab2符合“一正二定三相等” ；注意均值不等式的一些变形，如；222)(;)(baba七、直线和圆的方程1.设三角形的三个顶点是 A（x 1,y1） 、B(x 2,y2)、C（ x3,y3）,则ABC的重心 G 为（ ） ；3,221yx合 中 高 05 级 复 习 用 资 料第 7 页 共 20 页2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是A1A2+B
10、1B2=0；3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 ；21BACd4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 ：A=C0 且 B=0 且D2+E24AF0；5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x 0x+y0y=r2;6.以 A(x1，y 2)、B(x 2,y2)为直径的圆的方程是 (xx 1)(xx 2)+(yy 1)(yy 2)=0;7.求解线性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等式；（2）作出可行域，写出目标函数；（3）确定目标函数的最优位置，从而获得最优解；八、圆锥曲线方程1.椭圆焦半
11、径公式：设 P（ x0,y0）为椭圆 （ab0）上任一12byax点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则 （e 为离心率）001,xPFe；2.双曲线焦半径公式：设 P（x 0,y0）为双曲线 （a0,b0）上12bya任一点，焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当 P 点在右支上时， ；0201,exPFe（2）当 P 点在左支上时， ；（e 为离心axa率） ；另：双曲线 （a0,b0 ）的渐进线方程为 ；12byax 02byx3.抛物线焦半径公式：设 P（x 0,y0）为抛物线 y2=2px(p0)上任意一点，F 为焦点，则 ；y 2=2px(p0)上任意一点
12、， F 为焦点，则0pF；20xP4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线 的双曲线标准方程为 为参数， 0） ；aby(2byax合 中 高 05 级 复 习 用 资 料第 8 页 共 20 页6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、B两点分别为 A(x1，y 1)、B(x 2,y2)，则弦长 4(2112 xxxkAB,这里体现了解析几何)221 yyk“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为 ，焦准距为 p= ，抛物线的abcb2通径为 2p，焦准距为 p; 双曲线 （a0，b0）的焦点到渐进12
13、yx线的距离为 b;8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx21；9.抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦）为 AB，A （x 1,y1） 、B(x2,y2),则有如下结论：（1） x 1+x2+p;（2）y 1y2=p 2，x 1x2=AB;4p10.过椭圆 （ab0 ）左焦点的焦点弦为 AB，则2byax，过右焦点的弦 ；)(1eAB )(221xeaAB11.对于 y2=2px(p0)抛物线上的点的坐标可设为（ ，y 0）,以简化p计算;12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1， y1)、B(x 2,y2)为椭圆 （ab0
14、）上不同的两点，M(x 0,y0)是12byaxAB 的中点，则 KABKOM= ；对于双曲线 （a0，b0） ，12byax类似可得：K AB.KOM= ；对于 y2=2px(p0)抛物线有 KAB2a 21yp13.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立 x、y 之间的关系，构成 F(x,y)0，是求合 中 高 05 级 复 习 用 资 料第 9 页 共 20 页轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点 P(x,y)依赖于另一动
15、点Q(x1,y1)的变化而变化，并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y 的代数式表示 x1、y 1，再将 x1、y 1 带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点 P（ x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x、y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。九、直线、平面、简单几何体1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC，若AOB= AOC ，则点A 在平面BOC 上的射影在BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角 MABN 中，AE M，BF N,EAB= ,ABF= ，异面直线 AE 与 BF 所成的角为 ，则12 ;coscos3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是 ， AC 在平面内，AC1和 AB 的射影 AB 成 ，设 BAC= ,则 cos cos =cos ；23234.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目
