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1、数理逻辑习题命题逻辑（一）1.指出下列语句中哪些是命题 a) 离散数学的研究对象是自然数。b) 请勿喧哗。c) 夸夸其谈可以创造财富。d) “飞碟”来自于银河系之外。e) 今天很冷。f) 你明天还来吗？解 a) 是命题。因为它是假的陈述句。b) 不是命题。因为它是祈使句。c) 是命题。因为它是假的陈述句。d) 是命题。因为它是可确定真假的陈述句，虽然其真假性现时还无法确定，但随着人类认识的发展终将得到证实。e) 是命题。因为它是可确定真假的陈述句，其真假取决于说话人的主观判断和外部环境的客观温度。f) 不是命题。因为它是疑问句。2.用符号形式写下面命题，其中P表示命题“明天下雪”；Q表示命题“
2、我们明天上课”；R表示命题“我们明天上公园”。a) 如果明天下雪且我们停课，那么我们去公园。b) 只有明天不下雪，我们才去公园。c) 除非明天不下雪且我们上公园，否则我们将上课。d)无论明天下雪与否，我们照常上课。解 a) PQR；b) PR（或RP）；c) (PR)Q （或PRQ）；d) PPQ（或Q）。3.用上题的命题P，Q，R解释下面的形式命题。 a) PQRb) PRc) PQRd) QR解 a) 只有明天下雪且不上课，我们才去公园；b) 明天下雪，明天我们去公园；c) 如果明天不下雪，那么我们上课或去公园；d) 除非明天不停课(上课)，否则我们去公园。4.将下述命题符号化 a) 不是
3、小王就是老李来找过你。b) 尽管小张与小赵是同学，但他们很少在一起。c) 如果程序能正常结束，那么就不会有语法错误。d) 既然你今天不去开会，就该在家好好休息一下。e) 只有博览群书，知识才能丰富。f) 只要懂得法律，就能够成为一名律师。g) 学好数、理、化，走扁天下都不怕。h) 并非由于学校是重点，毕业生才是一流的，而是由于毕业生是一流的，学校才能成为重点。i) 他能考上交大，除了由于他有一个较好的环境之外，还在于他平时的刻苦精神。解 a) 令：P：小王来找过你Q：老李来找过你形式化公式：PQ（实际上是不可兼或：PQ）；b) 令：P：小张与小赵是同学 Q：小张与赵在一起。形式化公式：PQ；c
4、) 令：P：程序正常结束 Q：程序有语法错误形式化公式：PQ；d) 令：P：你今天去开会 Q：你在家休息一下。形式化公式：PQ；e) 令：P：(某人)博览群书 Q：(某人)知识丰富形式化公式：PQ（或者QP）；f) 令：P：(某人)懂得法津 Q：(某人)成为一名律师形式化公式：PQ；g) 令：P：(某人)学好数学 Q：(某人)学好物理 R：(某人)学好化学 S：(某人)走遍天下都不怕形式化公式：P Q RS；h) 令：P：学校是重点 Q：毕业是一流的形式化公式：(PQ) (QP) ；i) 令：P：他考上了交大 Q：他有一个较好的环境 R：他平时刻苦形式化公式：Q RP。5.试通过对命题公式中联
5、结词的个数归纳，证明命题公式在任一指派下的真假值都是唯一的。证 (采用串值数学归纳法)为证命题公式在任一赋值下的真值是唯一的，我们对公式中所含联结词的个数n进行串值归纳： 1）若n0，则P是一原子公式，从而() P()显然是唯一的。2）假设n0，1，2，k时，任何含有n个联结词的公式在下的真值() 是唯一的。3）于是，当nk+1时，则根据合式公式的形成规则，可知 1，或者1*2（这里* 或或或）。我们设1和2中的联结词个数分别为k1和k2，那么a) 当1时，则有k1+1k+1，从而k1k0于是由归纳假设可知，真值是唯一的，所以由的真值表知真值() (1()是唯一的；b) 当1*2时，则有k1+
6、k2+1k+1，从而k1+k2k，即有k1k，k2k。于是由归纳假设知，真值1()，2 ()是唯一的，所以由*的真值表（，的真值表）知真值()1()*2()都是唯一的。这就用串值归纳法证明了命题公式在任一赋值下的真值（真假值）都是唯一的。6.令P，Q，R，S分别取值为T，F，T，F。求出下列命题公式在相应指派下的真假值。 a) P (QPR)b) QP(QSR)c) (PQ) (RQS)d) P(QRS)QP解 这里赋值（T，F，T，F） a) ( P (QPR)() P (QPR) T (FTT)F (FT)F TTb) (QP(QSR)() QP(QS R) FT(FFT) T(FT) T
7、FFc) (PQ) (RQS)() (PQ) (RQS) (TF) (TFF) F (TF) FF Fd) (P(QRS)Q P)() (P(QRS)QP) T(FTF)FT T(FTT)FF T(FT)F TTFTFF7.构造下列命题公式的真值表。 a) P(QR)b) (PQ) (PR)c) (P(QQ)Pd) (PQ)(PR)(P(QR)解 a)PQRQRP(QR)TTTTTTTFTTTFTTTTFFFFFTTTFFTFTFFFTTFFFFFFb)PQRPQPR(PQ) (PR)TTTTTTTTFTTTTFTFTFTFFFTFFTTTTTFTF TFFFFTTTTFFFTFFc) PQP
8、QQQP(QQ)(P(QQ)PTTFFFFTTFFTFFTFTTFFTTFFTTFTTd) PQRPQPRQR(PQ)(PR)P(QR)(PQ)(PR)(P(QR)TTTTTTTTTTTFTFFFFTTFTFTTTTTTFFFFTTTTFTTTTTTTTFTFTTFTTTFFTTTTTTTFFFTTTTTT8.利用真值表法判断下列逻辑等价式是否成立。 a) (PQ)(QP)b) (PQ)(QP)c) P(QR)(PQ)(PR)d) (PQ)PQe) (PQ)PQf) PQ(PQ) (PQ)g) P(QP)P(QP)h) (PR)(QR)PQRi)(PQ)RP(QR)解a) 成立。PQPQPQQ
9、PTTFFFFTFFTTTFTTFTTFFTTTT此真值表最后两列全完相同。故a) 的逻辑等价式成立。b) 不成立。PQPQQPTTTTTFFTFTTFFFTF此真值表最后两列不完全相同。故b) 的逻辑等价式不成立。c) 成立。PQRPQPRQRP(QR)(PQ)(PR)TTTTTTTTTTFTFFFFTFTFTTTTTFFFFTTTFTTTTTTTFTFTTFTTFFTTTTTTFFFTTTTT此真值表最后两列完全相同。故c) 的逻辑等价式成立。d) 成立。PQQPQ(PQ)PQTTFTFFTFTFTTFTFTFFFFTTFF此真值表最后两列完全相同。故d) 的逻辑等价式成立。e) 成立。P
10、QPQPQ (PQ)PQTTFFTFFTFFTFTTFTTFFTTFFTTFTT此真值表最后两列完全相同。故e) 的逻辑等价式成立。f) 成立。PQPQP QP QPQ(PQ)(PQ)TTFFTFTTTFFTFFFFFTTFFFFFFFTTFTTT此真值表最后两列完全相同。故f) 的逻辑等价式成立。g) 成立。PQ PQPQ PP(QP) P(Q P)TTFTFTTTFFTTTTFTTFTTTFFTTTTT此值表最后两列完工全相同。故f) 逻辑等价式成立。h) 成立。PQRPRQRPQ(PR)(QR)PQRTTTTTTTTTTFFFTFFTFTTTTTTTFFFTTFFFTTTTTTTFTFTFTFFFFTTTFTTFFFTTFTT
