《中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第七章 误差分布与平差参数的资料讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中国矿业大学环境与测绘学院测绘工程《测量平差》第七章 误差分布与平差参数的资料讲解（141页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 误差分布与平差参数的统计假设检验,前面几章所讲述的几种经典的平差数学模型，在最小二乘原则下进行平差计算时，得到的平差值和参数估值均是最优无偏估计量，但必须有下列情况成立：其一是假定观测值中只含有偶然误差（又称为随机误差），或者说偶然误差是观测误差的主要成分，其它类型的误差很小，与偶然误差相比，可以忽略不计，因此，可视观测值为服从正态分布的随机变量，也就是说，其数学期望等于真值， 即 （或说观测误差是服从正态分布的随机变量，其数学期望为零，即 ）；,其二是在平差前确定观测值的权时，假定母体的方差 为已知，用式 或用基于上式的导出式计算（例如，在水准测量中，用式 或 ）。如果上述两个条件不
2、能成立，则最小二乘平差得到的平差值和参数估值不是最优无偏估计量。因此，必须对上述假定或者说对误差分布与平差参数的正确性进行检验。,由于采用的检验方法在数学上是数理统计学的内容，故本章阐述误差分布与平差参数的统计假设检验方法。,7-1 概述,一、统计假设检验的概念,统计假设 在母体的未知分布上所作的某种假设称为统计假设（习惯上将原假设记为 ；备选假设记为 ）。 统计假设分为参数假设和非参数假设。所谓参数假设就是对母体分布中的参数所作的假设；非参数假设就是对母体分布函数所作的假设。,参数假设 例如，某糖厂用自动包装机将糖装箱，每箱规定的重量为100斤。每天开工时，需要先检验一下包装机工作是否正常。
3、根据以往的经验知，用自动包装机装箱，其各箱重量的标准差 斤，且包装的重量变化服从正态变化。某日开工后，抽测了9箱，其重量如下（单位：斤）：,99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5 试问此包装机工作是否正常。,非参数假设 某种建筑材料，其抗断强度的分布，以往的监测表明，符合正态分布，现在，生产厂家改变了原来的配料方案，生产出新的产品，希望确定新产品的抗断强度的分布是否仍为正态分布？ 与前例类似，先建立假设：假设改变了配料方案后生产出的该建筑材料的抗断强度仍服从正态分布（原假设记为 ： ）。然后通过抽取子样来推断上述的这种假设的正确性，从而
4、判定接受还是拒绝这种假设。这种对母体分布函数的统计假设称为非参数假设。,统计假设检验 假设提出之后，就要判断它是否成立，以决定接受假设还是拒绝接受假设，这个过程就是假设检验的过程。在统计学上，称判断给定统计假设 的方法为统计假设检验，或简称统计检验。相应于统计假设的划分，统计假设检验也分为参数假设检验和非参数假设检验。 在检验时，要有一定量的抽样数据(或说成子样)，以概率论知识为基础，运用数理统计的方法进行。因此，统计假设检验所解决的问题，就是根据子样的信息，通过检验来判断母体分布是否具有指定的特征。,二、进行统计假设检验的思想,我们知道，即使包装机工作正常，波动性总是存在的，所以，包装机所包
5、装的每包糖的净重不会都等于 ，总是有一些差异，从而观测值的平均值 也不见得恰好等于 。,但若平均值 与 有显著的差异，即 相当大时，则我们就认为机器工作不正常； 若平均值 与 没有显著的差异，即 相当小时，则我们就认为包装机工作正常。,上述问题用数理统计的语言来说就是：如果,（其k中为某一适当的常数），则我们接受假设 ，即认为包装机工作正常；如果 ，则我们拒绝假设 ，即认为包装机工作不正常，上述的叙述可用概率的形式描述如下，即,也就是说，假设检验的判断依据是小概率推断原理。所谓小概率推断原理就是：概率很小的事件在一次试验中实际上是不可能出现的。如果小概率事件在一次试验中出现了，我们就有理由拒绝
6、它。,因此说，统计假设检验的思想是：给定一个临界概率 ，如果在假设 成立的条件下，出现观测到的事件的概率小于等于 ，就作出拒绝假设 的决定，否则，作出接受假设 的决定。,习惯上，将临界概率 称为显著水平，或简称水平。,三、接受域和拒绝域,接受域 接受假设 的区域称为检验的接受域。例如上面的例子，当根据子样算术平均值满足的时候 （或 ）,我们接受假设 ，也就是说计算的结果 落在了 （或 ）区间之内，通常把区间 （或 ）称之为接受域。如图7-1,拒绝域 拒绝接受假设 的区域称为检验的拒绝域。例如上面的例子，如果计算的结果 落在了 区间之外，这就表示概率很小(=a)的事件居然发生了。根据小概率事件在
7、一次实验中实际上不可能出现的原理，就有足够的理由否定原来所作的假设 ，通常把区间 （或 ）以外的区域称之为拒绝域。如图7-1,四、两类错误,由上述假设检验的思想可知，假设检验是以小概率事件在一次实验中实际上是不可能发生的这一前提为依据的。但是，小概率事件虽然其出现的概率很小，但这并不是说这种事件就完全不可能发生。事实上，如果我们重复抽取容量为n的许多组子样，由于抽样的随机性，子样均值不可能完全相同，因而由此算得的统计量的数值也具有随机性。若检验的显著水平定为 ，那么，即使原假设 是正确的(真的)，其中仍约有5%的数值将会落入拒绝域中。,由此可见，进行任何假设检验总是有作出不正确判断的可能性，换
8、言之，不可能绝对不犯错误。只不过犯错误的可能性很小而已。,第一类错误 当 为真(正确)而遭到拒绝的错误称为犯第一类错误，也称为弃真的错误，如图7-2。犯第一类错误的概率就是a。,第二类错误 同样地，当 为不真(不正确)时，我们也有可能接受 ，这种错误称为犯第二类错误，或称为纳伪的错误，如图7-2。犯第二类错误的概率为 。,显然，当子样容量n确定后，犯这两类错误的概率不可能同时减小。当a增大，则 减小；当a减小，则 增大。,五、统计量和抽样分布,在统计假设检验中，被检验的对象往往不是单个的子样，而经常是对子样的某种函数进行检验，例如在本节的第一个例子的检验问题中，是要对子样平均值 进行检验，我们
9、知道 也是随机变量，也服从某种概率分布。,六、进行统计假设检验的步骤,概括起来说，进行假设检验的步骤是： 1根据实际需要提出原假设 和备选假设 ； 2选取适当的显著水平a； 3确定检验用的统计量，其分布应是已知的； 4根据选取的显著水平a，求出拒绝域的界限值，如被检验的数值落入拒绝域，则拒绝 (接受 )。否则，接受 (拒绝 )。,7-2 常用的参数假设检验方法,一、u检验法,由于正态分布是母体中最常见的分布，所抽取的子样也服从正态分布，由此类子样构成的统计量是进行假设检验时最常用的统计量，以下的几种参数假设检验方法均是此类统计量。,1u检验法的概念,设母体服从正态分布 ，母体方差 为已知。从母
10、体中随机抽取容量为n的子样，可求得子样均值 ，利用子样均值 对母体均值u进行假设检验，则可用统计量 ，其分布为标准正态分布。即,2u检验法的类型 根据检验问题的不同，利用u检验法对母体均值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。,当 或 时，接受 ，拒绝 ； 反之，拒绝 ，接受 ；,当 或 时， 拒绝 ，接受 ；反之，接受 ， 拒绝 ；,例7-1 已知基线长 ，认为无误差。为了鉴定光电测距仪，用该仪器对该基线施测了34个测回，得平均值 ，已知 ,问该仪器测量的长度是否有显著的系统误差（取 ）。,解：（1） （2）当 成立时，计算统计量值,u检验法不仅可以检验单个正
11、态母体参数，还可以在两个正态母体方差 已知的条件下，对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。,设两个正态随机变量 和 ，从两母体中独立抽取的两组子样为 和 。子样均值分别为 和 ，则两个均值之差构成的统计量也是正态随即变量，即,在实际测量工作中，真正的 经常是未知的，一般是利用实测结果计算的估值代替，数理统计中已说明，这种代替，当子样容量n200，则可认为是严密的，当一般n30，用 代 进行u检验则认为是近似可用的。当母体方差未知，检验问题又是小子样时，u检验法便不能应用。须用以下的t检验法对母体均值进行u检验。,二、t检验法,1t检验法的概念,设母体服从正态分布 ，母体方差 未知。从母体中
12、随机抽取容量为n的子样，可求得子样均值 和子样中误差 ，利用子样均值 和子样中误差 对母体均值u进行假设检验，则可利用统计量 ，但统计量已不服 从正态分布，而是服从自由度为n-1的t分布。即,2t检验法的类型 根据检验问题的不同，利用t检验法对母体均值u进行检验时，可选用双尾检验法、单尾检验法（左尾检验法或右尾检验法）。 （1）双尾检验法,当 或 时，接受 ，拒绝 ； 反之，拒绝 ，接受 ；,例7-3 为了测定经纬仪视距常数是否正确，设置了一条基线，其长为100m，与视距精度相比可视为无误差，用该仪器进行视距测量，量得长度为：,100.3，99.5，99.7，100.2，100.4，100.0
13、 99.8，99.4，99.9， 99.7，100.3，100.2,试检验该仪器视距常数是否正确。,解：,同样，t检验法不仅可以检验单个正态母体参数，还可以对两个母体均值是否存在显著性差异进行检验。,从两母体中独立抽取的两组子样为 和 。子样均值分别为 和 ，子样方差分别为 ，则两个均值之差构成如下服从t分布的统计量，即,（7-2-6）,三、 检验法,1 检验法的概念,这种用统计量 对母体方差进行假设检验的方法，称 检验法。,如果统计量 的计算值 大于以显著水平 和自由度n-1查得的 值，则拒绝原假设 ，接受 。否则接受 。,（3）查得 因为 落在了（2.700，19.023）区间，故接受 ，
14、即认为在 的显著水平下，新旧两种仪器的测角精度相同。,四、F检验法 1F检验法的概念,设有两个正态母体 和 ，母体方差 和 未知。从两个母体中随机抽取容量为 和 的两组子样，求得两组子样的子样方差 和 ，则,利用子样方差 和 的上述信息对母体方差 和 是否相等进行假设检验，则可利用统计量,在实际检验时，我们总是可以将其中较大的一个子样方差作为 ，另一个作为 ，这样就 可以使 永远大于1。因为,故,这样，就只须考察 是否落入右尾的拒绝域 就可以了，不必再去考虑左尾的拒绝域。在这种情况下，可写成,由于前面讲过的理由，我们总是可以使 ，所以进行单尾检验时，就没有必要再考虑备选假设为 的情况了。,例7
15、-6 用两台经纬仪对同一角度进行观测，用第一台观测了9个测回，得一测回测角中误差估值 ，用第二台也观测了9个测回，得一测回测角中误差估值 ，问两台仪器的测角精度差异是否显著（取 ）？,在F分布表查得 ， , 成立，测距仪乙的测距精度不比甲差。因在F分布表中的值均大于1，发现F值小于1， 必成立。,7-3 误差分布的假设检验,分布假设检验 上一节介绍的几种检验方法，都是认为母体分布形式已知，在这种前提下进行讨论，对母体的参数进行假设检验的。但是，在许多的实际问题中，母体服从何种分布并不知道，这就需要对母体的分布先做某种假设，然后用样本（观测值）来检验此项假设是否成立，这种检验就是分布假设检验。,在前面的学习中，我们知道，如果观测误差服从正态分布，平差计算所得的结果是最优无偏估计量。但是，如果观测误差包含了系统误差或粗差，所得的平差结果不会再是最优无偏估计，甚至是无效的结果。因此，要想使平差得到
