《高中数学 三角函数的最值的求解策略-（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 三角函数的最值的求解策略-（解析版）（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】方法一 配方法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.
2、第三步 得出结论.来源:学+科+网例1 函数的最小值为 【答案】【解析】试题分析：，；故填学科网考点：1二倍角公式；2一元二次函数的值域【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令，将其转化为关于的二次函数求最值问题.【变式演练1】已知函数有最大值，求实数的值【答案】或【解析】试题分析：，令，则，对称轴为，考点：三角函数的最值【点评】解本题的关键是利用换元法转化为关于的二次函数，根据的取值范围1，1，利用对称轴进行分类讨论求出最大值，解出a的值【变式演练2】求函数的最大值与最小值.【答案】10与6.【解析】试题分析：将原式进行化简，利用二倍角
3、公式，同角三角函数关系，将原式化成含的式子，利用换元法，令，根据二次函数的性质求最值.试题解析：令，由于函数在中的最大值为 最小值为故当时取得最大值，当时取得最小值.考点：1.三角恒等变换；2.二次函数在给定区间求最值.方法二 化一法使用情景：函数表达式形如类型解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式；第二步 利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式；第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例2 已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 【答案】【解析】考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域【点评】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有
4、二倍角公式和两角和公式，进而利用的范围得到，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法学科网【变式演练3】设当时，函数取得最大值，则_【答案】来源:Zxxk.Com【解析】试题分析：,其中，故当函数取得最大值时，考点：辅助角公式，三角函数的最值和值域【变式演练4】已知函数的最小正周期是(1)求的单调递增区间；(2)求在，上的最大值和最小值【答案】(1) ； (2) 最大值、最小值 (2)当时，,所以在上的最大值和最小值分别为、.学科网考点：1、三角函数的恒等变换；2、函数的性质；【变式演练5】已知函数图象的一条对称轴是，且当时，函数取得最大值，则 【答案】【解析
5、】考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角恒等变换【变式演练6】已知的定义域为.(1)求的最小值.(2)中,边的长为函数的最大值,求角大小及的面积.【答案】(1)函数的最小值；(2) 的面积.【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.【变式演练7】已知函数.（I）求的最小正周期和最大值；（II）求在上的单调递增区间【答案】（I）的最小正周期为，最大值为；（II）【解析】试题分析：（I）利用三角恒等变换的公式，化简，即可求解的最小正周期和最大值；（II）由递增时，求得，即可得到在上递增考点：三角函数的图象与性质方法三 直线斜率法使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一
6、步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步 得出结论.例3 求函数的最值.【答案】的最大值为，最小值为.【解析】设则，即为过点两点的斜率. 所以要求函数的最大值，只要求直线的斜率的最大值即可.因为，所以在单位圆上.因为直线的方程为：，所以直线与单位圆相切时，斜率取得最值. 由，解得，所以的最大值为，最小值为. 学科网【变式演练8】求函数在区间上的最小值.【答案】的最大值为，最小值为.【点评】若函数表达式可化为形如（其中，为含有三角函数的式子），则通过构造直线的斜率，通过数与形的转化，利用器几何意义来确定三
7、角函数的最值.来源:学_科_网【高考再现】1. 【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:的单调区间长度是半个周期;若的图像关于直线 对称,则 或.2. 【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）A.，的最小值为B. ，的最小值为C.，的最小值为D.，的最小值为【答案】A【解析】试题分析：由题意得，故
8、此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题
9、能力，培养消元意识。学科网4. 【2016年高考北京理数】（本小题13分）在ABC中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想5.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时
10、的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）A5 B6 C8 D10【答案】C【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C学科网【考点定位】三角函数的图象与性质【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法本题从图象中可知时，取得最小值，进而求出的值，当时，取得最大值6.【2015高考安徽，理10】已知函数（，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答
11、案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.7.【2015高考浙江，文11】函数的最小正周期是 ，最小值是 【答案】来源:学科网ZXXK【解析】，所以；.【考点定位】1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质以及三角恒等变换.主要考查学
12、生利用恒等变换化简三角函数，利用整体代换判断周期与最值的能力.本题属于容易题，主要考查学生的基本运算能力以及整体代换的运用.8.【2015高考湖南，理9】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则（ ）A. B. C. D.【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.9.【2015高考上海，理13】已知函数若存在，满足，且（，），则的
13、最小值为 【答案】【解析】因为，所以，因此要使得满足条件的最小，须取即【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.10.【2015高考北京，理15】已知函数() 求的最小正周期；() 求在区间上的最小值【答案】（1），（2）考点定位： 本题考点为三角函数式的恒等变形和三角函数图象与性质，要求熟练使用降幂公式与辅助角公式，利用函数解析式研究函数性质，包括周期、最值、单调性等【名师点睛】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的图象与性质，本题属于基础题，要求准确应用降幂公式和辅助角公式进行变形，化为标准的
14、形式，借助正弦函数的性质去求函数的周期、最值等，但要注意函数的定义域，求最值要给出自变量的取值. 学科网【反馈练习】1. 【2017届山东德州宁津县一中高三上月考二数学试卷，文13】函数的最大值为_【答案】【解析】试题分析：,故函数的最大值为应填考点：1两角和与差的余弦公式；2三角函数的值域2. 【2017届浙江温州中学高三10月高考模拟数学试卷，理14】已知向量则= 、= ，设函数R），取得最大值时的x的值是 .【答案】，Z【解析】考点：向量的数量积公式及三角变换公式等知识的综合运用.3【 2017届湖北黄冈市高三9月质检数学试卷，理7】函数在处取得最小值，则（ ）A是奇函数 B是偶函数 C是奇函数 D是偶函数【答案】B【解析】考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数的奇偶性.4【 2017届湖南衡阳八中高三10月月考数学试卷，理9】已知函数均为正的常数）的最小正周期为，当时
