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1、2. 8 轴向拉伸或压缩时的变形,1. 轴向变形,直杆轴向拉压时变形的特点,轴向变形量,下面建立变形与力之间的关系,1. 轴向变形,轴向变形量,应变,应力,应力-应变关系, 胡克定律的 另一种形式,EA 抗拉(或抗压)刚度,注意：上式只在应力不超过比例极限时成立。,(1) 阶梯轴,(2) 变截面轴,推广:,2. 横向变形,横向变形量,横向应变,试验证明,上式也可写成：, 泊松比或横向变形系数。,当应力不超过比例极限时，有：,几种常用材料的E和m的约值(表2. 2),3. 变截面杆的轴向变形,取一微段，,积分得：,微段的伸长,例 1 变截面杆,已知： BD段A1=2cm2, AD段 A2=4cm
2、2, P1=5kN, P2=10kN, E=120GPa 。 图中尺寸为cm。 求：AB杆的变形。,解：,(1) 求轴力,BD段,CD段,AC段,(1) 求轴力,BD段,CD段,AC段,(2) 求变形,(2) 求变形,AB杆的变形,例 2 (书例2. 7),已知： BC杆: d=20mm, BD杆: 8号槽钢。= 160 MPa, E=200GPa, P=60kN。 求：校核强度及B点位移。,解：,(1) 求轴力,取B点,(拉),BC杆面积,(压),(2) 计算应力,BD杆面积,查型钢表(p.414)得,BC杆面积,(2) 计算应力,BD杆面积,查型钢表得(p. 414),应力,BC杆变形,(
3、3) 计算杆的变形,BC杆变形,(3) 计算杆的变形,BD杆变形,(4) 计算B点位移,确定变形后B点的位置B3,B点水平位移,(4) 计算B点位移,确定变形后B点的位置B3,B点水平位移,B点垂直位移,2. 9 轴向拉伸或压缩的变形能,弹性体在外力作用下，因变形而储存 的能量称为变形能（或应变能）。,1 变形能,力的功,当应力小于 比例极限时,力的元功,力的总功,当应力小于 比例极限时,力的总功,变形能,由能量守恒原理,单位体积内的变形能。,2 比能(应变能密度),单元体上下 两面的力为:,当应力有一个增量d 时, x方向伸长的增量为:,取一单元体：,dx,dy,dz,x方向的伸长为:,则元
4、功为:,力所作的功为:,则力所作的功为:,所以:,比能:,当应力小于比例极限时,比能:,当应力小于比例极限时,由胡克定律,或:,由比能求应变能,应力分布均匀时,应力分布不均匀时,推广到多杆系统,应力分布均匀时,由能量守恒原理,有,例 3 (书例2. 9),解：,已知: BD杆外径90mm，壁 厚2.5mm，杆长l=3m。E = 210 GPa。BC是两条钢索， 每根截面积172 mm2，E1= 177GPa。P = 30kN , 不考虑 立柱变形。 求: B点垂直位移。,解三角形得 BC=l1=2.20m, CD=1.55m BC、BD的截面积分别为 A1344mm2, A=687mm2,取B
5、点，受力如图：,取B点，受力如图：,N1=1.41P,N2=1.93P,外力P所作的功等于BC及BD 杆的变形能，所以,2. 10 拉伸、压缩静不定问题,静定问题 未知力（内力或外力）个 数等于独立的平衡方程数; 静不定问题 未知力个数多于独立的平 衡方程数; 静不定次数 未知力个数与独立平衡方程 数之差，也称静不定度数; 多余约束 保持结构静定多余的约束。,关于静不定的基本概念,静力平衡方程 力的平衡关系。 变形协调方程 变形与约束的协调关系。 物理关系 力与变形的关系。,求解静不定问题的基本方法,例 1 (书p.50),已知：1、2杆相同，抗拉 刚度为E1A1 , 3杆的抗拉 刚度为E3A
6、3 , 长为l , 角。 求：各杆的内力。,l,静不定的次数？,1次 静不定。,解：,例 1 (书p.50),已知：1、2杆相同，抗拉 刚度为E1A1 , 3杆的抗拉 刚度为E3A3 , 长为l , 角。 求：各杆的内力。,P,解：,(1) 静平衡方程,取A点，受力如图。,静不定次数？,1次。,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,(1),(2),(3),(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,物理关系代入变形协调方程,与平衡方程联立，可解出:,(1),(2),(3),(4),(1) 静平衡方程,物理关系代入变形协调方程,与平衡方程联立，可解出:,(1
7、),(2),(4),例 2,已知：等直杆, EA,P;a,b。 求：两端的约束反力。,解：,(1) 静平衡方程,取杆，受力如图。,(2) 变形协调方程,而AB杆总长度不变，,AC段受拉，拉伸变形为,BC段受压，压缩变形为,所以,静不定次数？,1次。,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,AC段轴力,BC段轴力,所以,(3) 物理关系,由物理关系和 变形协调方程，得,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,由物理关系和变形协调方程，得,与平衡方程联立，解得：,例 3 (书例 2. 11),已知： AB为刚性梁，1、 2两杆的横截面面积相等, 材料相同，P力已知。 求：1、
8、2两杆的内力。,解：,静不定次数？,(1) 静平衡方程,1次。,取AB杆，受力如图。,(2) 变形协调方程,(1) 静平衡方程,(3) 物理关系,2. 11 温度应力与装配应力,1. 温度应力,由于温度变化引起的应力，称为温度应力 或热应力。 温度应力仅存在于静不定结构中。 化工管道 桥梁 裸露的输气管及水管,由温度引起的变形,其中， 为材料的线膨胀系数； T为温度 变化值；l为杆的长度。,由温度引起的变形,碳钢的线膨胀系数: a = 12.5 x 10-6 (1/ C),例 4,已知：a = 12.5 x10-6 (1/ C) ，E=200GPa。 求：温度应力。,解：,取杆，受力如图。,(
9、1) 静平衡方程,其中， 为材料的线膨胀系数； T为温度 变化值；l为杆的长度。,例 4,已知：a = 12.5 x10-6 (1/ C) ，E=200GPa。 求：温度应力。,解：,取杆，受力如图。,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,当 T =80C 时，,而低碳钢的ss仅235MPa，许用应力s通常仅 120 MPa 左右。所以温度应力是非常大的。,伸缩节,波纹管伸缩节,伸缩缝,火车钢轨伸缩缝,梳状伸缩缝,叠合伸缩缝,江阴长江大桥的伸缩缝,伸缩缝,当温度从 -20 C到60 C时，桥面伸长将达1.34m,
10、例 5 (书例 2. 12),已知： ACB为刚性杆， 钢杆AD的A1=100mm2, l1=330mm，E1= 200 GPa, a1=12.510-6/C; 铜杆BE的A2=200mm2, l2=220mm，E2=100 GPa，a2=16.510-6/C, 温升30 C。 求： 两杆的轴力。,解：,(1) 静平衡方程,取AB杆，受力如图。,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,联立解得:,结果为正， 表示两杆 的确受压。,2. 装配应力,由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构 存在应力，称装配应力。 装配应
11、力仅存在于静不定结构中。,已知： 三杆长为 l , 截面积、材料均相 同，中间杆短于名 义长度， 加工误差 为 d= l / 2000。 求：装配应力。,例 6 (书例 2. 13),已知： 三杆长为 l , 截面积、材料均相 同，中间杆短于名 义长度， 加工误差 为 d= l / 2000。 求：装配应力。,解：,分析变形。,(1) 静平衡方程,例 6 (书例 2. 13),取螺栓，受力如图。,(2) 变形协调方程,(1) 静平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理关系,联立解得:,2. 12 应力集中的概念,由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应 力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平
12、均值的应力，这种现象称为应力集中。,应力集中与圣维南原理,理论应力集中系数,这里，为截面上的平均应力。 k 的值可以查手册。 当宽度远大于圆孔直径时，k = 3。,应力集中的应用： 食品包装袋上的缺口,应力集中的避免或减小,应力集中的影响,静载荷时,塑性材料 产生屈服后，应力重新分配。,应力趋于平均。 这种情况下，可不考 虑应力集中的影响。,静载荷时,塑性材料 产生屈服后，应力重新分配,应力趋于平均。 这种情况下，可不考虑应力集中的影响。,脆性材料 应力集中部位的应力首先达 到强度极限而破坏。,应力集中的危害严重。,灰口铸铁 内部缺陷是产生应 力集中的主要因素，外形变化是 次要因素。,动载荷时
13、,动载荷时,在交变应力或冲击载荷作用下，应力集中对 塑性材料和脆性材料的强度都有严重影响。,塑性材料在交变应力作用下，应力集中部 位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。,2. 13 剪切与挤压的实用计算,1.剪切的实用计算,钢杆的受剪,键的受剪,剪切件的特点,受力的特点,杆件某一截面两侧作用有两个大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。,变形的特点,两外力作用线间的截面 发生错动。,剪力,受剪面上的剪力,剪力,简化假设：,切应力在受剪面上均匀分布。,受剪面上的剪力,切应力计算,名义切应力：,受剪面的面积。,强度条件,例 1 (书例2. 14),已知： 插销材 料为20钢，t =30MPa，直径
14、d=20mm, t = 8 mm, 1.5t =12 mm, P =15kN。 求：校核插销的剪切强度.,解：,插销受力如图。,具有两个剪切面：,双剪问题。,取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。,解：,插销受力如图。,具有两个剪切面：,双剪问题。,取两个剪切面之间的杆为研究 对象，受力如图。,剪切面的面积,结论：满足剪切强度要求。,例 2 (书例2. 15),已知：钢板厚 t =10mm, 其剪切极限应力tu=300 MPa。 求：要冲出直径d =25 mm的孔，需多大冲剪 力P？,解：,剪切面是哪一个面？,剪切面的面积,2.挤压的实用计算,挤压,接触面上由于挤 压力太大而产生 塑性变形
15、，形成 的破坏称挤压破 坏 。,连接件和被连接件接触面相互压紧的现象。,应力分布,简化假设,简化假设,应力在挤压面上均匀 分布。,挤压应力,有效挤压面面积等于实际挤压面面积在垂直于 总挤压力作用线的平面上的投影。,挤压面上传递的力,有效挤压面的面积。,有效挤压面面积的计算,实际挤压面,有效挤压面面积等于实际挤压面面积在垂直于 总挤压力作用线的平面上的投影。,有效挤压面面积的计算,有效挤压面,对圆截面杆：,对圆截面杆：,对平键：,挤压强度条件,许用挤压应力通常大于许用,应力，一般地,例 3 (书例2. 16),已知：d=70mm, 键的尺寸为bhl =2012100mm，力偶m= 2 kNm, 键的 t=60 MPa, sbs=100 MPa。 求：校核键的强度。,解：,1) 校核键的剪切强度,剪切面上的剪力,取键的下半部分和轴，受力如图,1) 校核键的剪切强度,剪切面上的剪力,取键的下半部分和轴，受力如图,剪切面的面积,切应力,切应力,满足剪切强度要求。,2)
