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1、椭 圆一.考试必“背”1 椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的点的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| ，0e1的常数。（为抛物线；为双曲线）2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一个）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（0，c），F2（0，c）。其中注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在
2、长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3参数方程 ：椭圆的参数方程 4.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）有以下性质：坐标系下的性质： 范围：|x|a，|y|b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）； 准线方程：；或 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a
3、+ey0，|PF2|=a-ey0;平面几何性质： 离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越_，是_。 焦准距；准线间距二、焦点三角形结论一：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，当点P位于_时最大，cos=_.|PF1|PF2|的最大值为_. 结论二：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为_。结论三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。结论四：四心的轨迹(1)、焦点三角形内心的轨迹及其方程(2)、焦点三角形重心的轨迹及其方程：(3)、焦点三角形垂心的轨迹及其方程：(4)、焦点三角形的外心的轨迹及其方程（）三中点弦问题是椭圆的一条弦，中点M坐标为，则直线的斜
4、率为 。四弦长问题. (1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，则所得的弦长 或 .(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为利用 ，往往比利用弦长公式简单。五X轴正半轴到椭圆的最短距离问题：已知椭圆，则点(m ，O)到椭圆的最短距离为：_.六过椭圆上点切线问题若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.习 题1、已知椭圆方程，椭圆上点M到该椭圆一个焦点的距离是2，N是MF1的中点，O是椭圆的中心，那么线段ON的长是（ ）（A）2（B）4（C）8（D）2点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且P
5、F1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为_. 3.（2009年上海卷理）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则=_.4.（2009北京文）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 .4已知椭圆的左、右焦点分别为、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）（A） （B）3 （C） （D）5椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为钝角时,点横坐标的取值范围是_. 。6.椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，离心率3/2，椭圆上各点到直线l的最短距离为1，则该椭圆方程是？直线l为x-y+0 7.设点P（x，y）在椭圆
6、，（1）试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值8已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若，则（A）1 （B） （C） （D）29.已知点P是椭圆方程x2/3+y2=1上的动点，M,N是直线L：y=x上的两个动点，且满足|MN|=t，则 （1）存在实数t使MNP为正三角形的点仅有一个（2）存在实数t使MNP为正三角形的点仅有两个（3）存在实数t使MNP为正三角形的点仅有三个（4）存在实数t使MNP为正三角形的点仅有四个（5）存在实数t使MNP为正三角形的点有无数个上述命题中正确的序号是_.10.在平面直角坐标系中，点与点A（-1,1）关于原点O对称，P
7、是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由(探究（面积）)11.（2007四川理）设、分别是椭圆的左、右焦点.（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.（最值、求取值范围）12.（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点（是其左顶点，点在椭圆上，且，（）求椭圆的方程；（）若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求
8、此时直线的方程（最值）13.（2009浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为 （I）求与的值； （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点若是的切线，求的最小值SJS14（本题满分14分） 已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，（）求椭圆的方程；（）若，且，求的值（点为坐标原点）；（）若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值FT15、（13分）在直角坐标系中，点到F1、F2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和（1）求轨迹的方程；（2）当时，求与的关系，并证明直线过定点（过定点）16.（12分）已知点是椭圆上的一点，,是椭圆的两个焦点,且满足.()求椭圆的方程及离心率; ()设点,是椭圆上的两点,直线,的倾斜角互补,试判断直线的斜率是否为定值?并说明理由.（定值）17 .(2010年高考天津卷理科20) (本小题满分12分)已知椭圆(0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4()求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于不同的两点已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4求的值用心 爱心 专心
