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1、组合数学姜建国 著(第二版)- 课后习题答案完全版 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 组合数学组合数学(第第2版版)-姜建国姜建国,岳建国岳建国 习题一（排列与组合）习题一（排列与组合） 1在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？ 解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数； （1）选1个，即构成1位数，共有个； 1 5 P （2）选2个，即构成两位数，共有个； 2 5 P （3）选3个，即构成3位数，共有个； 3 5 P （4）选4个，即构成4位数，共有个； 4 5 P 由加法法则可知，所求的整数共有：个。
2、1234 5555 205PPPP 2比5400小并具有下列性质的正整数有多少个？ （1）每位的数字全不同； （2）每位数字不同且不出现数字2与7； 解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数； 按正整数的位数可分为以下几种情况： 一位数，可从19中任取一个，共有9个； 两位数。十位上的数可从19中选取，个位数上的数可从其余 9个数字中选取，根据乘法法则，共有个；9 981 三位数。百位上的数可从19中选取，剩下的两位数可从其余 9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有个； 2 9 9648P 四位数。又可分三种情况： 千位上的数从14中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3 个进行排
3、列，根据乘法法则，共有个； 3 9 42016P 千位上的数取5，百位上的数从13中选取，剩下的两位数从剩下 的8个数字中选2个进行排列，共有个； 2 8 3168P 千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字 中选2个进行排列，共有个； 2 8 56P 根据加法法则，满足条件的正整数共有：个；981 6482016 168562978 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数； 按正整数的位数可分为以下几种情况：设0,1,3,4,5,6,8,9A 一位数，可从中任取一个，共有7个；0A 两位数。十位上的数可从
4、中选取，个位数上的数可从A0A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有个；7 749 三位数。百位上的数可从中选取，剩下的两位数可从A0A 其余7个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有 个； 2 7 7294P 四位数。又可分三种情况： 千位上的数从1，3，4中选取，剩下的三位数从A中剩下的7个数字 中选3个进行排列，根据乘法法则，共有个； 3 7 3630P 千位上的数取5，百位上的数从0，1，3中选取，剩下的两位数从A中 剩下的6个数字中选2个进行排列，共有个； 2 6 390P 根据加法法则，满足条件的正整数共有：个；749294630901070 3一教室有两排，每排8个座位，今有
5、14名学生，问按下列不同的方式入座，各有 多少种做法？ （1）规定某5人总坐在前排，某4人总坐在后排，但每人具体座位不指定； （2）要求前排至少坐5人，后排至少坐4人。 解：（1）因为就坐是有次序的，所有是排列问题。 5人坐前排，其坐法数为，4人坐后排，其坐法数为，(8,5)P(8,4)P 剩下的5个人在其余座位的就坐方式有种，(7,5)P 根据乘法原理，就座方式总共有： （种）(8,5)(8,4)(7,5)28 449 792 000PPPAA （2）因前排至少需坐6人，最多坐8人，后排也是如此。 可分成三种情况分别讨论： 前排恰好坐6人，入座方式有；(14,6) (8,6) (8,8)CP
6、P 前排恰好坐7人，入座方式有；(14,7) (8,7) (8,7)CPP 前排恰好坐8人，入座方式有；(14,8) (8,8) (8,6)CPP 各类入座方式互相不同，由加法法则，总的入座方式总数为： 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 (14,6) (8,6) (8,8)(14,7) (8,7) (8,7)(14,8) (8,8) (8,6) 10 461394944 000 CPPCPPCPP 典型典型错误错误： 先选6人坐前排，再选4人坐后排，剩下的4人坐入余下的6个座位。 故总的入坐方式共有：种。 (14,6)8,6(8,4)8,46,4CPCPP 但这样计算无疑是有重复
7、的，例如恰好选6人坐前排，其余8人全坐 后排，那么上式中的就有重复。(8,4)8,4CP 4一位学者要在一周内安排50个小时的工作时间，而且每天至少工作5小时， 问共有多少种安排方案？ 解：用表示第i天的工作时间，则问题转化为求不定方程 i x1,2,7i 的整数解的组数，且，于是又可以转 1234567 50 xxxxxxx5 i x 化为求不定方程的整数解的组数。 1234567 15yyyyyyy 该问题等价于：将15个没有区别的球，放入7个不同的盒子中，每盒球数不限 ，即相异元素允许重复的组合问题。 故安排方案共有： （种）( ,15)(157 1,15)54 264RCC 另解： 因
8、为允许，所以问题转化为长度为1的15条线段中间有14个空，再加上0 i y 前后两个空，共16个空，在这16个空中放入6个“”号，每个空放置的“”号数不 限，未放“”号的线段合成一条线段，求放法的总数。从而不定方程的整数解共 有： （组） 21 20 19 18 17 16 ( ,6)(166 1,6)54 264 6 5 4 3 2 1 RCC 即共有54 264种安排方案。 5若某两人拒绝相邻而坐，问12个人围圆周就坐有多少种方式？ 解：12个人围圆周就坐的方式有：种，(12,12)11!CP 设不愿坐在一起的两人为甲和乙，将这两个人相邻而坐，可看为1人，则这 样的就坐方式有：种；由于甲乙
9、相邻而坐，可能是“甲乙”也可(11,11)10!CP 能是“乙甲”；所以 则满足条件的就坐方式有：种。11! 2 10!32 659 200 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 6有15名选手，其中5名只能打后卫，8名只能打前锋，2名只能打前锋或后卫，今 欲选出11人组成一支球队，而且需要7人打前锋，4人打后卫，试问有多少种选 法？ 解：用A、B、C分别代表5名打后卫、8名打前锋、2名可打前锋或后卫的集合， 则可分为以下几种情况： （1）7个前锋从B中选取，有种选法，4个后卫从A中选取，有种， 7 8 C 4 5 C 根据乘法法则，这种选取方案有：种； 74 85 CCA （2）7
10、个前锋从B中选取，从A中选取3名后卫，从C中选1名后卫， 根据乘法法则，这种选取方案有：种； 731 852 CCCAA （3）7个前锋从B中选取，从A中选取2名后卫，C中2名当后卫， 根据乘法法则，这种选取方案有：种； 72 85 CCA （4）从B中选6个前锋，从C中选1个前锋，从A中选4个后卫， 根据乘法法则，这种选取方案有：种； 614 825 CCCAA （5）从B中选6个前锋，从C中选1个前锋，从A中选3个后卫，C中剩下的 一个当后卫，选取方案有：种； 613 825 CCCAA （6）从B中选5个前锋，C中2个当前锋，从A中选4个后卫， 选取方案有：种； 54 85 CCA 根据
11、加法法则，总的方案数为： 747317261461354 858528582582585 1400CCCCCCCCCCCCCCCAAAAAAAAA 7求展开式中项的系数。 8 (2)xyzw 2222 x y z w 解：令，则中项的系数为,2 ,ax by cz dw 8 ()abcd 2222 a b c z ，即中，的系数， 8 8!7! 2 2 2 22!2!2!2!2 8 (2)xyzw 2222 () ( 2 )xyzw 因此，的系数为：。 2222 x y z w 22 7! 2 ( 1)( 2)10 080AA 8求的展开式。 4 ()xyz 解：，展开式共有（项）， 所以，4
12、,3nt( ,4)(43 1,4)15RCC 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 444433 22222 3322 3 44444 () 4 0 00 4 00 0 4310301 444 2 2 02 0 2211 4444 130103112121 44 013031 xyzxyzx yx z x yx zx yz xyxzxyzxy z yz 322 444333333 222222222 4 0 2 2 444444 666121212 y zy z xyzx yx zxyxzyzy z x yx zy zx yzxyzxy z 9求展开式中的系数。 10 12345 (
13、)xxxxx 36 234 x x x 解：的系数为： 36 234 x x x 10 10! 840 0316 03! 1! 6! AA 10试证任一整数n可唯一表示成如下形式： 1 !,0,1,2, ii i naiai i 证明：（1）可表示性。 令，显然， 1221 (,)|0,1,2,1 mmi Maaa aai im !Mm ，显然，0,1,2,! 1Nm!Nm 定义函数，:fMN ， 12211221 (,)(1)!(2)!2!1! mmmm f aaa aamamaa AA 显然， 1221 00 (1)! 0 (2)!0 2! 0 1! (1)!(2)!2!1! (1)(1)
14、! (2)(2)!2 2! 1 1! ! (1)! (1)! (2)!3! 2! 2! 1! 1 mm mm amamaa mmmm mmmmm AAAA AA AA 即， 1221 0(,)! 1 mm f aaa am 由于f是用普通乘法和普通加法所定义的，故f无歧义，肯定是一个函数。 从而必有一确定的数，使得，(0! 1)KKm 1221 (,) mm Kf aaa a 为了证明N中的任一数n均可表示成的形式， 1 ! i i nai 只需证明f是满射函数即可。又因为f是定义在两个有限且基数相等的函数 上，因此如果能证明f单射，则f必是满射。 假设f不是单射，则存在， 12211221
15、(,),(,) mmmm aaa abbb bM 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 ，且有，使得 12211221 (,)(,) mmmm aaa abbb b 0 KN 012211221 (,)(,) mmmm Kf aaa af bbb b 由于，故必存在，使得 12211221 (,)(,) mmmm aaa abbb b 1jm 。不妨设这个j是第一个使之不相等的，即， jj ab(1,1) ii ab imj 且， jj ab jj ab 因为 1221 1221 (1)!(2)!2!1! (1)!(2)!2!1! mm mm amamaa bmbmbb AA AA 所以， 1221 1221 112211 112211 0(1)!(2)!2!1! (1)!(2)!2!1! () ! ()(1)!() 2! () 1! !(1)!2!1! !(1) (1)!2 2! 1 1! ! mm mm jjjj jj bmbmbb amamaa bajbajbaba jbajbaba jjj j AA AA AA AAA AAA ( ! 1)1j 产生矛盾，所以f必是单射函数。 因为，所以f必然也是满射函数，!MNm 故对任意的，都存在，使得nN
